§7.5函数的幂级数展开式 通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于 研究和计算,常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂 级数这正好和原来“求一个幂级数的和函数”问题相反 下面将解决这样一些问题 (1)对于给定的函数f(x),在什么条件下它才能展开成幂 级数? (2)如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数an(n=0,1 2,…)? (3)展开后的幂级数是否唯一?
1 通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间 内,均可表示成一个函数(即和函数).但在实际中为了便于 研究和计算, (3) 展开后的幂级数是否唯一? 2, )？ §7.5 函数的幂级数展开式 级数.这正好和原来 常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂 “求一个幂级数的和函数”问题相反. 下面将解决这样一些问题: (1) 对于给定的函数ƒ(x),在什么条件下它才能展开成幂 级数? (2) 如果可以展开,怎样求这个幂级数的系数 ( 0,1 n a n =
定义5若一个函数(x)能表示成一个幂级数∑anx", 称为此函数的幂级数展开;称此幂级数为该函数的幂 级数展开式 由第四章定理4(泰勒 aylor中值定理)知,若函数f(x) 在x0的某邻域内具有直到(n+1)阶导数,则对于x∈(a,b 均有 ∫(x)=f(x)+f(x(x-x0) (x-x0)2…+ (x-x0)"+Rn(x) 2! 其中R(x) f+(5 (x-x0)(介于x与x之间) (n+1) 我们称此等式为函数f(x)在x=x0处的m阶泰勒 aylor公式或泰勒/alor展开式
2 称为此函数的幂级数展开; 称此幂级数为该函数的幂 级数展开式. 0 n n n a x = 由第四章定理4 (泰勒Taylor中值定理)知,若函数ƒ(x) 在x0 的某邻域内具有直到(n+1)阶导数, 则对于 均有 ( ) 0 0 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n = + − + − + − + x a b ( , ), 0 我们称此等式为函数ƒ(x)在 x x = 处的n阶泰勒 Taylor公式或泰勒Taylor展开式. ( 1) 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ( 1)! n n n f R x x x x x n + + = − + 其中 介于 与 之 间). 定义5 若一个函数ƒ(x)能表示成一个幂级数
显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处.故为了讨论函数的幂级数展开先来讨论泰勒级数 泰勒级数 由泰勒中值定理知,当f(x)在x的某邻域内内具有 直到n+1)阶导数,那么在该邻域内必有f(x)=P(x)+R(x) 从而当f(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 f(x)=limp (x)+r,(x) 若imR2(x)=0,必有f(x)=∑ f(x n1→0 k! 函数f(x)在x处的泰勒级数或泰勒展开式 特别地,在x=0时,上式即为f(x)=∑ f(0) k=0k! 函数f(x)在处的马克劳林级数或马克劳林展开式
3 显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似 之处. 故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数. 由泰勒中值定理知, 当ƒ(x)在 x0 的某邻域内内具有 直到(n+1)阶导数, 那么在该邻域内必有 ( ) ( ) ( ), n n f x P x R x = + ( ) lim[ ( ) ( )] n n n f x P x R x → = + lim ( ) 0, n n R x → 若 必有 = ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! k k k f x f x x x k = = − ——函数ƒ(x)在x0 处的泰勒级数或泰勒展开式. 特别地, 在 x0 = 0 时, 上式即为 一. 泰勒级数 从而当ƒ(x)在该邻域内具有任意阶导数时,有 ( ) 0 (0) ( ) ! k k k f f x x k = = ——函数ƒ(x)在 处的马克劳林级数或马克劳林展开式
定义6称马克劳林级数的前(n+1)项的和 ∫(0)+f(0)x+ ∫"(0) 为f(x)的n阶泰勒多项式f(x)与n阶泰勒多项式的差值 R(x)=f(x)-f(0)+f(0)x+(0 0) n 叫做f(的n阶泰勒余项.常见的R(x)的形式是 (n+1) R (x)= (2) x(介于0与x之间) (n+1) (n+1) 或R(x) (x) n+1 (0<6<1) (n+1)! 称为泰勒余项R(x)的拉格朗目型 当n=0时,就是拉格朗日中值公式
4 定义6 称马克劳林级数的前(n+1)项的和 ( ) 2 (0) (0) (0) (0) 2! ! n n f f f f x x x n + + + ƒ(x)与n阶泰勒多项式的差值 ( ) 2 (0) (0) ( ) ( ) [ (0) (0) ] 2! ! n n n f f R x f x f f x x x n = − + + + 叫做ƒ(x)的n阶泰勒余项. ( ) 常见的 R x n 的形式是 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 0 ( 1)! n n n f R x x x n + + = + 介于 与 之 ( 1) 1 ( ) ( ) (0 1) ( 1)! n n n f x R x x n + + = + 或 ——称为泰勒余项 ( ) R x n 当n=0时, 就是拉格朗日中值公式. 间). 为ƒ(x)的n阶泰勒多项式. 的拉格朗日型
函数展开成幂级数的充要条件 定理18若函数f(x)在(-R,R内有任意阶导数,则f(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是f(x)泰勒余项R(x) 满足imRn(x)=0 证因余项为R(x)=f(x)-∑ k! 而级数收敛,则当x∈(-R,R,时 f(r) k! 所以f(x)=im2 ∫(0) x' e limlf(x)-∑ 0 k! n k! slim (x)=0
5 二.函数展开成幂级数的充要条件 定理18 若函数ƒ(x)在 (-R, R)内有任意阶导数, 则ƒ(x)可 展成马克劳林级数的充分必要条件是ƒ(x)的泰勒余项 满足 ( ) R x n lim ( ) 0. n n R x → = ( ) 0 (0) ( ) ( ) ! n k k n k f R x f x x = k = − x R R −( , ), ( ) 0 (0) ( ) lim ! n k k n k f f x x → = k 所以 = ( ) 0 (0) lim[ ( ) ] 0 ! n k k n k f f x x → = k − = lim ( ) 0 n n R x → = 证 因余项为 而级数收敛,则当 ( ) 0 (0) ( ) ! k k k f f x x k = = 时
推论若对任意x∈(-RR)内如果存在一个正常数K, 使得/(x)≤k(n=12…,则f(在(RR内可展为 x的幂级数 证|R(x) f+(5) k (n+1)! (n+1)! 而 收敛,其收敛半径为+ nd(n+1)! n+1 →Iim n(n+1) 0(x<∞)→ lim r(x)=0 n→c 注1若f(x)在x=她能展成幂级数则其幂级数展开 式必为泰勒级数;若f(x)在x=0处能展成幂级数则其幂 级数展开式必为马克劳林级数
6 则ƒ(x)在(-R, R)内可展为 1 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n f x R x x k n n + + + = + + 1 0 ( 1)! n n x n + = + 而 1 lim 0 ( ) ( 1)! n n x x n + → = + + lim ( ) 0 n n R x → = ( ) ( ) n f x k 证 收敛, 其收敛半径为+∞ 注1 若ƒ(x)在 x x = 处能展成幂级数 0 , 则其幂级数展开 推论 若对任意 x∈(-R, R)内, 如果存在一个正常数K , 使得 (n=1,2,…), x 的幂级数. 式必为泰勒级数; 若ƒ(x)在x = 0处能展成幂级数,则其幂 级数展开式必为马克劳林级数
将初等函数展开成幂级数的方法 因级数∑a(x-xy与∑ax”可相互转化故下面主 H=0 要讨论如何将f(x)展开成x的幂级数∑anx(即马克 劳林级数) 1直接展开法 利用式f(x)=∑ f"( x"直接将f(x)展开成一个 幂级数的方法,称为直接展开法 主让表继主凿
7 三.将初等函数展开成幂级数的方法 0 n n n a x = 0 0 ( )n n n a x x = − 与 要讨论如何将 ƒ(x) 展开成 x 的幂级数 (即马克 劳林级数). 0 n n n a x = 幂级数的方法, 称为直接展开法. ( ) 0 (0) ( ) ! n n n f f x x n = = 1.直接展开法 因级数 可相互转化,故下面主 利用式 直接将ƒ(x)展开成一个
直接展开法的计算步骤为: 求出f(x)在x=0处的各阶导数值:∫(0)(m=1,2,…); (2)写出f(x)的马克劳林级数,并给出收敛区间; 3)证明在收敛区间内余项 lim r(x)=0 n→0 (4)写出f(x)的展开式:∫(x)=∑ 并写出收敛区间
8 (3) 证明在收敛区间内余项 lim ( ) 0. n n R x → = (4) 写出ƒ(x)的展开式: ( ) 0 (0) ( ) ! n n n f f x x n = = ， (1) 求出ƒ(x)在 x=0处的各阶导数值: ( ) (0) ( 1,2, ); n f n = (2) 写出ƒ(x)的马克劳林级数, 并给出收敛区间; 直接展开法的计算步骤为: 并写出收敛区间
例22将下列函数展开成x的幂级数 (1)f(x)=e2 解因f(x)=e(n=0,1,2,…)→f(0)=1(n=0,1,2,…) 于是∑x=∑1x且其收敛区间为(-∞2+) =0h! 6xn+1 n+1 而0≤R2(x) (n+1)!(m+1)! n+1 o x n+1 且 是∑ 的一般项,则对x∈( (n+1)!m=(n+1)! 恒有limR(x)=0→imR(x)=0 →0 故c2=∑ 1+x+一+一+…+—+ n 2!3! (-∞<x<+0)
9 例22 将下列函数展开成x的幂级数: (1) ( ) x f x e = ( ) ( ) ( 0,1,2, ) n x 解 因 f x e n = = ( ) (0) 1 ( 0,1,2, ) n = = f n ( ) 0 0 (0) 1 ! ! n n n n n f x x n n = = = 且其收敛区间为(－∞,+ ∞) 1 1 0 ( ) ( 1)! ( 1)! x n x n n e x e x R x n n + + = + + 而 1 1 ( 1)! ( 1)! 0 n n n x x n n + + + + = 且 是 的一般 恒有 项, 则对 于是 − + x ( , ), 2 3 0 1 ! 2! 3! ! n n x n x x x x e x n n = 故 = = + + + + + + ( ) − + x lim ( ) 0 n n R x → = lim ( ) 0 n n R x → =
(2)f(x)=sinx 解因f"(x)=sin(x+n·)(m=0,1,2,…) 有f(0)=0,f(0)=1f”(0)=0,∫"(0)=-1,…, f2(0)=0,f(2k+)(0)=(-1) 于是∑ f"(0) X=y-—+ +…+(-1 3!5!7! (2n+1)! ∑+的 (2k+1)! 且其收敛区间为(-∞,+∞) 2k+3 而0≤风(x)=Nix+ 2k+3 (2k+3)!(2k+3)
10 ( ) ( ) sin( ) ( 0,1,2, ) 2 n f x x n n 解 因 = + = 有 f f (0) 0, (0) 1 = = (2 ) (2 1) (0) 0, (0) ( 1) , k k k f f + = = − f f (0) 0, (0) 1, , = = − ( ) 3 5 7 2 1 0 (0) ( 1) ! 3! 5! 7! (2 1)! n n n n n f x x x x x x n n + = = − + − + + − + + 于是 且其收敛区间为(－∞,+ ∞). 2 1 0 ( 1) (2 1)! k k k x k + = = − + (2) ( ) sin f x x = 2 3 2 3 2 3 0 ( ) sin[ ] 2 (2 3)! (2 3)! k k k k x x R x x k k + + + = + + + 而
