§73任意项级数 本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同 的变号级数(任意项级数).如级数 ∑ 及∑ 2n (n+1)! 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法首先讨论其中 的一种各项正负相间的特殊情形—交错级数,它是一种 常见而有实用价值的特殊级数 交错级数 定义4正负项相间的级数,称为交错级数其一般形式为 ∑ 1-l2+l2-l4+…+l2k-1-l2k+… H=1 (un>0,n=1,2,…)
1 §7.3 任意项级数 本节讨论一般的常数项级数, 即各项符号不尽相同 的变号级数(任意项级数). 如级数 一.交错级数 1 1 1 1 2 ( 1) sin ( 1)! n n n n n n − = = − + 及 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中 的一种各项正负相间的特殊情形 ——交错级数, 它是一种 常见而有实用价值的特殊级数. 定义4 正负项相间的级数,称为交错级数.其一般形式为 1 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) ( 0, 1,2, ) n n k k n n u u u u u u u u n − − = − = − + − + + − + =
或∑(-1)"n=-n1+2-3+u1 非c 2k-1 +2 (un>0,n=1,2,…) 定理11cbmi判别法)若交错级数∑(-1y"n(an>0) 满足条件:(1)n≥un1(n=1,2,…) 2)lim u =0 n→0 则交错级数收敛,且其和S≤1,余项R|≤un 证因为Sk=(1-2)+(吗3-u4)+…+(2k1-2x) 则序列{S2}单增 而S=l1-(2-m3)-(u4-5)-…-(2k2-b2k1)-2k≤u1 则序列{S2}有上界 于是imS2k=S≤l1 k→00
2 1 2 3 4 2 1 2 1 ( 1) n n k k n u u u u u u u − = 或 − = − + − + − − + − 定理11 (Leibnitz判别法) 若交错级数 1 1 ( 1) ( 0) n n n n u u − = − 满足条件: 1 (1) ( 1,2, ); u u n n n = + (2)lim 0 n n u → = 2 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) S u u u u u u k k k = − + − + + − − S2k 1 . 则交错级数收敛, 且其和 1 R u n n + s u , 证 因为 则序列 单増. 2 1 lim k k S s u → 于是 = 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 而 S u u u u u u u u k k k k = − − − − − − − − − − u1 2 . 则序列 S k 有上界 余项 ( 0, 1,2, ) u n n =
又因S2+1=S2k+l2a+1 lim s 2k+1 lim s tlim 2k+1 s+0=S k→0 k→0 k→0 则无论n是奇数还是偶数均有imSn= n→0 于是交错级数∑(-1)un收敛,且其和S≤l1 n=1 因R|=um-un2+…也是交错级数,同样满足定理给 出的两个条件从而R|≤un 例14判定下列交错级数的敛散性 ∑(--1 ++(1y1+ n 234 n 解因un nn+un1(n=1,2, 而Iimn=im=0→∑(-1)1-收敛 n→00 1-)oo n n=1
3 2 1 2 2 1 lim lim lim 0 k k k k k k S S u s s + + → → → = + = + = 因 R u u n n n = − + + + 1 2 1 . R u n n + 又因 S S u 2 1 2 2 1 k k k + + = + lim . n n S s → 则无论n是奇数还是偶数均有 = 于是交错级数 1 1 ( 1)n n n u − = − 收敛, 且其和 1 s u . 也是交错级数, 同样满足定理给 出的两个条件.从而 例14 判定下列交错级数的敛散性. 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 2 3 4 n n n n n − − = − = − + − + + − + 1 1 1 ( 1,2, ) 1 u u n n n n n = = = + + 解 因 1 lim lim 0 n n n u → → n 而 = = 1 1 1 ( 1)n n n − = − 收敛
任意常数项级数 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的但当我们 考察它的每一项取绝对值后组成的级数—正项级数便 可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了 定义5若级数∑每项取绝对值构成的级数∑叫l收敛, 则称级数∑un绝对收敛;若级数∑n发散,而级数∑ n= n 收敛,则称级数∑n条件收敛 n=1 例如级数∑(m 是绝对收敛的 nE ∑(-1)-11是条件收敛的
4 由于任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正 项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们 定义5 若级数 每项取绝对值构成的级数 收敛, 1 n n u = 1 n n u = 二.任意常数项级数 可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了. 绝对收敛; 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 例如级数 是条件收敛的. 是绝对收敛的; 1 2 1 1 ( 1)n n n − = − 1 1 1 ( 1)n n n − = − 考察它的每一项取绝对值后组成的级数——正项级数,便 收敛, 则称级数 则称级数 若级数 发散, 而级数 条件收敛
定理12若级数∑m收敛,则级数∑",必定收敛 H=1 即绝对收敛的级数必收敛 ≥0 证设 (,I L.)= <0 有0≤vn≤mn,于是∑"收敛 而vn=(un+n)→n=2n-{un→∑"n收敛 H=1 注1所有正项级数的收敛都是绝对收敛. 注2一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定任意常数项级数是否绝对收敛,从而收敛
5 定理12 若级数 收敛, 则级数 必定收敛. 即绝对收敛的级数必收敛. 1 n n u = 1 n n u = 1 ( ) 2 n n n v u u = + 0 , n n 有 v u 1 n n v = 于是 2 u v u n n n = − 1 n n u = 证 设 收敛. 收敛. 注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛. 注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来 判定任意常数项级数是否绝对收敛, 从而收敛. , 0 0 0 n n n u u u = 1 ( ) 2 n n n 而 v u u = +
注意:(1)当∑n发散时,就只能断定∑u非绝对收敛 H=1 而不能断定它必为发散,此时需进一步用其他方法来判 定∑n的敛散性 (2)若用比值法和根值法判别级数∑n,得出级数∑ 发散则可断言级数∑n一定发散 定理13若任意项级数∑满足条件 H=1 imH=1,或 lime/u,|=, n1→0 1→0 则(1)当l1时,级数发散
6 而不能断定它必为发散, (2) 若用比值法和根值法判别级数 , 得出级数 1 lim , n n n u l u + → = 或 lim , n n n u l → = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 1 n n u = 注意: 1 n n u = 定理13 若任意项级数 满足条件 1 n n u = 则 (1)当 l 1时, 级数发散. (1) 当 发散时, 就只能断定 此时需进一步用其他方法来判 定 的敛散性. 发散,则可断言级数 一定发散. 非绝对收敛, 1 n n u =
证因若mH|=>1(或m9n=l>1 n-oo u n1→0 则对充分大的n,均有mn|>un(或n|=P">1) →im{ul≠0→imn≠0→∑n发散 H=1 注3对于任意项级数∑u H=1 ①首先判断它是否绝对收敛即用正项级数的判 别法判别∑un是否收敛); ②再看它是否为交错级数;若是交错级数,就用 莱布尼兹判别法判别∑是否收敛; ③若前面方法失效,就考虑用其它方法 如级数收敛的定义级数的一些基本性质等进行判别
7 1 lim 1 ( lim 1) n n n n n n u l u l u + → → 因若 或 = = lim 0 n n u → lim 0 n n u → 1 , ( 1) n 充分大的 均有 或 n u u u l n n n + = 如级数收敛的定义,级数的一些基本性质等进行判别. 证 则对 1 n n u = 发散. 注3 对于任意项级数 1 n n u = ①首先判断它是否绝对收敛 1 n n u = ②再看它是否为交错级数; 1 n n u = 是否收敛); (即用正项级数的判 别法,判别 若是交错级数，就用 莱布尼兹判别法判别 是否收敛; ③若前面方法失效,就考虑用其它方法;
例15判定下列级数的敛散性: coS n7 n=1√n+n 解(1)因 cosn元 而 lim n n +n n +n n→0 由比较判别法的极限形式知∑ 收敛 n 故原级数绝对收敛 (2)∑(-1y1 (a>0,b>0) H=1 a+bn 解因lm+=1,而元1发散 n→0o b n
8 例15 判定下列级数的敛散性: 3 1 cos (1) n n n n = + 1 1 1 (2) ( 1) ( 0, 0) n n a b a bn − = − + 3 3 cos 1 (1) n n n n n + + 解 因 3 2 3 1 lim 1 n 1 n n n → + 而 = 由比较判别法的极限形式知 故原级数绝对收敛. 1 1 lim , n 1 a bn b n → + 解 因 = 1 1 n n = 而 发散. 收敛. 3 1 1 n n n = +
从而原级数不绝对收敛;但它却是满足莱布尼兹条件 的交错级数,即 limu =lim =0且Ln a+on a+b(n+1) n+1 n1→0 n-y00a+bn 则原级数条件收敛 (3∑(-1)"1(m2-1) 解因un=n-1>0,而 LInn_1 li n→0 Nn-I= lim-1 (1-Inn) lim ● n→0 n→0 n n 设∫(x)=x2=ex I21-Inx f(x)=e x
9 1 1 1 (3) ( 1) ( 1) n n n n − = − − 从而原级数不绝对收敛； 1 1 1 ( 1) u u n n a bn a b n = = + + + + 则原级数条件收敛. 1 1 0, n 解 因 而 u n n = − 1 ln 1 lim 1 n n n e n → − 2 2 1 (1 ln ) limn 1 n n n → − − = = − 1 ln ( ) x x x f x x e = = ln 2 1 ln ( ) x x x f x e x − 设 = 但它却是满足莱布尼兹条件 的交错级数, 即 1 lim lim 0 n n n u → → a bn = = + 且 1 lim 1 n n n n → − =
当x>e时,∫"(x)un+1(m=3>,4,…) 而limf(x)=li m e ex++oo x =e=1 x→+0 x→10 limu =lim(f(n)-1)=0 n→ n→0 故原级数条件收敛 (4∑(-)cos) n 解因imyn=lm(oy”=则W、 n→0 lim(-sin2I,It H→ =e2<1 由根值判别法知∑u收敛.故原级数绝对收敛 11=
10 f x ( ) 0 1 ( 3 ,4, ) 于是 u u n e n n = + ln lim ( ) lim x x x x f x e →+ →+ 而 = ln lim 0 1 x x x e e →+ = = = lim lim( ( ) 1) 0 n n n u f n → → = − = 故原级数条件收敛. 当 x > e 时, 单减, 则 un 3 1 1 (4) ( 1) (cos ) n n n n = − 2 2 2 1 lim(1 sin ) n n→ n − 2 2 1 1 lim ( sin ) 2 2 1 n n n e e → − − = = 1 n n u = 由根值判别法知 收敛. 故原级数绝对收敛. f x( ) 单减； 1 2 lim lim( cos )n n n n n u → → n 解 因 = =