§2.5无穷小量与无穷大量 研究函数极限时,有两种变量非常重要.一种是 在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有 多小;一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而 且要多么大就有多大我们分别将它们称为无穷小量 和无穷大量
1 §2.5 无穷小量与无穷大量 研究函数极限时, 有两种变量非常重要. 一种是 在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小就有 多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变大, 而 且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量 和无穷大量
无穷小量 定义以零为极限的变量称为无穷小量.例 n =0→-是x→>∞时的无穷小量 x→o lim e=0→e是x→>-∞时的无穷小量 lim e=0→e是x→+0时的无穷小量 lim sinx=0→sinx是x→0时的无穷小量 0 im(x-x)=0→x-x是x→x时的无穷小量 x→ . o lim(x-2)=-1,x→>1x-2不是无穷小量 x→1 iml=0(q<1)→q"是n→∞时的无穷小量 n→)
2 一. 无穷小量 定义 以零为极限的变量称为无穷小量. 例 1 . x x → 是 时的无穷小量 0 limsin 0 sin 0 . x x x x → = → 是 时的无穷小量 1 lim 0 lim 0 lim 0 x x x x x x e e → →− − →+ = = = . x → − e x 是 时的无穷小量 . x e x → + − 是 时的无穷小量 lim 0( 1) . n n n q q q n → = → 是 时的无穷小量 0 0 0 0 lim( ) 0 . x x x x x x x x → − = − → 是 时的无穷小量 1 lim( 2) 1, 1 2 . x x x x → − = − → − 时 不是无穷小量
注1.很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0” 是无穷小量;而无穷小量却不一定是数“0”,仅极 限值为0 注2.无穷小量与自变量的变化过程有关 无穷小量的性质 性质1.设在某一极限过程下有a1→0i=1,2,…,n),则 在此极限过程下有 (1∑a1→0;(21→0
3 注1. 很小很小的非零常量不是无穷小量, 但数“0” 是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极 限值为0. 无穷小量的性质 性质1. i 设在某一极限过程下有 → = 0( 1,2, , ), i n 则 在此极限过程下有 注2. 无穷小量与自变量的变化过程有关. 1 (1). 0; n i i = → 1 (2). 0. n i i = →
性质2.有界变量f(x)与无穷小量a(x)之积仍为无穷小量 证明 因f(x)有界则M>0,vx∈D,恒有f(x)≤M; 因a(x)为无穷小量, 则y>0,某个时刻,在此时刻后,a(x)<n M →∫(x)a(x)<M·<.:∫(x)a(x)为无穷小量 例 lim xsin=0,但 I limxsin1=1. x→0 x→0 lim sinr li x∞x n→0 n
4 性质2. 有界变量ƒ(x)与无穷小量α(x)之积仍为无穷小量. 证明 ( ) , 0, ( ), ( ) ; 因 f x M x D f f x M 有界 则 恒有 例 0 1 1 lim sin 0, lim sin 1. sin ( 1) lim 0; lim 0. x x n x n x x x x x x n → → → → = = − = = 但 因 ( ) , x 为无穷小量 f x x M f x x ( ) ( ) . ( ) ( ) . M 为无穷小量 0, ( ) , x M M 则 某个时刻，在此时刻后,
定理8.(函数与其极限间的关系)函数f(x的极限为A 的充要条件是函数f(x)等于A与无穷小量a的和 即f(x)=A+a 证明 设imf(x)=4,则对va>0总存在一个时刻在此时刻 以后,就恒有fx)-4k0总存在 个时刻,在此时刻以后,就恒有a=/(x)-A4<E 故lmf(x)=A
5 定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和. 即 ƒ(x) = A + α. 设lim ƒ(x) =A, 则对 0 " " " " 0 设ƒ(x ) = A +α,且α为无穷小量, 则对 证明 故lim ƒ(x) =A. 总存在一个时刻,在此时刻. 以后,就恒有|ƒ(x)–A|<ε, 从而ƒ (x )−A为无穷小量, 记 为α,则ƒ (x )=A+α 总存在 一个时刻, 在此时刻以后,就恒有| α |= |ƒ (x)–A|< ε
无穷大量 定义若对∨M>0,函数∫(x在其自变量的变化过程 中,总存在一个时刻,在此时刻以后,就恒有|f(x) >M,则称函数∫(x为该变化过程下的无穷大量.记为 imf(x)=∞(或)limf(x)= x→>x0 x-oO 注1无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而 不是一个很大的常量.当f(x取正值无限增大(取负值 绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负无穷大量) 记为lmf(x)=+(或)limf(x)= 注2通常limf(x)=∞是极限不存在的记号,但它又 不同于变量{(-1)}(无限增大的趋势) 例im=→是x→0时的无穷大量 lime=+∞→e是x→+∞时的无穷大量
6 二. 无穷大量 定义 若对 , 函数ƒ(x)在其自变量的变化过程 中, 总存在一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有| ƒ(x) | >M, 则称函数ƒ(x)为该变化过程下的无穷大量. 记为 0 M 0 lim ( ) lim ( ) x x x f x f x → → = = （或） 注1.无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量, 而 不是一个很大的常量. 当ƒ(x)取正值无限增大(取负值 绝对值无限增大)时, 称为正无穷大量(负无穷大量). lim ( ) lim ( ) f x f x = + = − （或） 注2.通常 lim ( ) f x = {( 1) }n − 0 1 1 lim 0 . x x → x x 例 = → 是 时的无穷大量 lim . x x x e e x →+ = + → + 是 时的无穷大量 记为 是极限不存在的记号; 但它又 不同于变量 (无限增大的趋势)
无穷小量与无穷大量的关系 定理9.在自变量的同一变化趋势下,无穷大量的倒 数为无穷小量;非零无穷小量的倒数为无穷大量 由此定理可知,要证imf(x)=0只需证 lim f(x)=0即可 3 例21.求im-5x+4 x2-5x+4 x2-3 解:im-x2-3 x→1x2-5+f =0.∴lim
7 无穷小量与无穷大量的关系： 定理9. 在自变量的同一变化趋势下, 无穷大量的倒 数为无穷小量;非零无穷小量的倒数为无穷大量. 由此定理可知, 要证 lim ( ) f x = 1 lim 0 f x( ) = 例21.求 2 2 1 3 lim . x 5 4 x → x x − − + 2 2 2 2 1 1 5 4 3 lim =0, lim x x 3 5 4 x x x → → x x x − + − = − − + 解 只需证 即可
三无穷小量阶的比较 无穷小量都是以0为极限,但它们趋于0 的“速度”却不一定相同例 当x→0时,x,2x,x2都是无穷小量,一 但2x→>0的速度比x“慢”,x2→>0的速度比x“快” 为了描述这种情况,有下述定义:设a(x, B(x)是同一极限过程中的两个无穷小量, (1.若imax2=0,则称(x)是比Bx)更高阶的 (x) 无穷小量,记为a(x)=0()
8 (1).若 三. 无穷小量阶的比较 无穷小量都是以0为极限, 但它们趋于0 的“速度”却不一定相同.例 2 当 0 , ,2 , , x x x x → 时 都是无穷小量 y=2x y=x 2 但 2 0 , 0 . x x x x → → 的速度比“慢” 的速度比“快” 为了描述这种情况, 有下述定义:设α(x), β(x)是同一极限过程中的两个无穷小量, ( ) lim 0 ( ) x x = ,则称α(x)是比β(x)更高阶的 无穷小量,记为α(x) = o(β)
2.若mAs=C≠0,则称a(x与风(x是同阶的无穷小量, 特别地,当C=1时,则称Q(x与6(x是等价的无穷小量, 记为a(x)~B(x) 13.若mB3=0,则称a(x是比B/x更低阶的无穷小量, 记为a(x)=O/(x).例 1.im 故当x→0时,x与2x是同阶的无穷小量 x→02r 2mx=.故当x→O时,x是比x更高阶的无穷小量 3imnx=0.故当x→∞时,I是比IA更高阶的无穷小量 x→0 4imx=1.故当x→0时,sinx与x是等价的无穷小量
9 (3).若 ,则称α(x)是比β(x)更低阶的无穷小量, 记为 ( ) lim 0 ( ) x C x = ( ) lim ( ) x x = (2).若 ,则称α(x)与β(x)是同阶的无穷小量, 特别地, 当C = 1时, 则称α(x)与β(x)是等价的无穷小量, 记为 α(x) ~ β(x) α(x) = O(β (x)). 例 0 1 1.lim . x 2 2 x → x = 故当 x→0时, x与2 x 是同阶的无穷小量. 故当 x→０时, x 2是比 x 更高阶的无穷小量. 故当 x→∞时, 1/x 是比 1/x 更高阶的无穷小量. 故当 x→0时,sin x与x是等价的无穷小量. 0 sin 4.lim 1. x x → x = 2 0 2.lim 0. x x → x = 2 1 3.lim 0. x 1 x x → =
四.无穷小量代换原理 定理10.a与β是等价的无穷小量的充要条件是 a=B+o(6) 定理11.若在同一极限过程中,α,,y均为无穷小 量,则 (1).a~a; (反身性) (2).若a~B;则β~a; (对称性) (3).若a~β,B~y,则a~y(传递性) (4).若a~B;则ay~yB
10 定理10. α与β是等价的无穷小量的充要条件是 α = β + o(β). 定理11. 若在同一极限过程中, α, β, γ 均为无穷小 量, 则 (1). α ~ α; (反身性) (2).若α ~ β; 则 β ~ α; (对称性) (3).若α ~ β, β ~ γ; 则 α ~ γ; (传递性) (4).若α ~ β; 则 αγ ~ γ β . 四. 无穷小量代换原理