第三章函教的导数与微分 §3.1导数的概念 §3.2函数的和、差、积、商的求导法则 §3.3反函数和复合函数的求导法则 §3.4高阶导数 dy=f(x)dx §3.5隐函数的导数 §3.6函数的微分
1 第三章 函数的导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 函数的和、差、积、商的求导法则 §3.3 反函数和复合函数的求导法则 §3.4 高阶导数 §3.5 隐函数的导数 §3.6 函数的微分 dy f x dx = '( )
第三章导数与微分 引言:研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关 系;研究变量的变化趋势即研究函数极限;除此之外 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度;如质点运 动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度 等等,这就需要用导数来研究.本章将介绍导数和微 分的概念以及它们的计算方法
第三章 导数与微分 引言：研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关 系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度; 如质点运 动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度 等等, 这就需要用导数来研究. 本章将介绍导数和微 分的概念以及它们的计算方法
§31导数的概念 一.引例 1变速直线运动的瞬时速度 匀速直线运动的(瞬时)速度:ν= t0+△t 设作变速直线运动的质点P(运动轨迹为S=s(功)从o 时刻到+△时刻,动点P在△t这段时间内经过的路程为 △s=sto+△-s(t),平均速度为 △ss(t+△)-s() 即路程的改变量与时间的改变量之商
3 §3.1 导数的概念 匀速直线运动的(瞬时)速度： s v t = • • 0 t 0 t t + Δt P 0 0 s s t t s t ( ) ( ) v t t + − = = 即路程的改变量与时间的改变量之商. 设作变速直线运动的质点P (运动轨迹为 s = s(t)) 从 t0 时刻到t0+Δt时刻, 动点P在Δt 这段时间内经过的路程为 Δ s = s(t0+Δt)-s (t0 ) ，平均速度为 1.变速直线运动的瞬时速度 一.引例
当变化,v也随之而变;当t→0时业可看作是质点 在时刻t的“瞬时速度”的近似值.从而对平均速度 取极限,便有im △5 li s(t0+△)-(t0) 0△t△r→+ △t 如果极限Iim△s=imS(+a)-)存在,则称此极限 →0△t→0 值为动点在时刻t的瞬时速度,即 v()=imA=lm(+△)-s( △tAt→>0 2平面曲线的切线斜率 当某一质点沿曲线运动时,不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化.欲知做曲线运动的质点 在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而 求切线方程的关键是求出切线的斜率
当Δt变化, v也随之而变; 当Δt→０时, 可看作是质点 在时刻t0 的“瞬时速度”的近似值. 从而对平均速度 取极限, 便有 v 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t t t → → + − = 如果极限 存在, 则称此极限 值为动点在时刻t0的瞬时速度, 即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t t t → → + − = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim t t s s t t s t v t t t → → + − = = 2.平面曲线的切线斜率 当某一质点沿曲线运动时, 不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化. 欲知做曲线运动的质点 在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而 求切线方程的关键是求出切线的斜率
设曲线L的方程为y=f(x), Mxoy)为L上一定点,动点 M(x0+4x,+4y,作割线MM,与x 轴夹角为q,则割线M的斜率为 tan-△x 今_∫(x+Ax)-f(x) 当动点M沿曲线L趋向定点M时,有 Ax→>0此时割线MM的极限位置就是曲线L过定 点M的切线MDT;
y o x 设曲线L的方程为y=ƒ(x), M0 (x0 ,y0 )为L上一定点, 动点 M(x0+Δx,y0+Δy), 作割线 M0M, 与x 轴夹角为φ, 则割线M0M的斜率为 L：y=ƒ(x) M0 0 x 0 x x + M T ›φ ›α 0 0 0 ( ) ( ) M M tan y f x x f x k x x + − = = = 0 y 0 y y + Δx }Δy 沿曲线L »φ 当动点M 趋向定点 M0时, 有 Δx→0 此时割线 M0M 的极限位置就是曲线 L 过定 点 M0 的切线 M0T; M1
那么割线斜率的极限就是切线MT的斜率,即 k=tana= lim tan △x→0 =lim Ay_im f(x0+△x)-f(x) △x→0△x△x+0 △ 如果极限lim f(x+△x)-f(x) Im △x→0△v△x→0 存在,此极限 值便是曲线在点x1处切线的斜率,即 k= lim 今=imf(xn+△x)-f(x △ △→>0 △r
6 M T0 0 tan lim tan x k → = = 那么割线斜率的极限就是切线 的斜率, 即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x k → → x x + − = = 如果极限 存在, 此极限 值便是曲线在点x0处切线的斜率,即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = =
导数概念 以上引例一个是物理学中的瞬时速度,一个是几 何学中的切线斜率.仅从数量关系来看,二者的数学 结构完全相同一函数改变量与自变量改变量之比的极限, 简称差商的极限. 定义1.设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义, 设自变量在点x处有改变量Ax≠0时(xo+x也在该 邻域内),函数有相应改变量小=fxn+Ax)f(xm)若极限 im△=imf(xn+△x)-(xn)存在.则称此极限值 △x→0△r△x→+0 △x 为函数f(x)在点x处的导数(或微商).也称f(x在点 0处可导.记作 f(o), y|xxo, dx x=o' d rlx=xo
存在. 则称此极限值 为函数ƒ(x) 在点 x0 处的导数(或微商). 也称ƒ(x)在点 x0处可导. 记作 以上引例一个是物理学中的瞬时速度, 一个是几 何学中的切线斜率. 仅从数量关系来看, 二者的数学 结构完全相同—函数改变量与自变量改变量之比的极限, 简称差商的极限. 定义1. 设函数 y =ƒ(x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 设自变量在点 x0 处有改变量Δx ≠ 0 时 (x0+Δx也在该 邻域内) , 函数有相应改变量Δy = f(x0+Δx)-f(x0 ), 若极限 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 0 0 0 0 ( ), , , . x x x x x x df dy f x y dx dx = = = 二.导数概念
若此极限不存在,则称∫(x)在点x处不可导 若令△x=x-x0则Δx→0兮x→x,从而 f(x)-f(o) f(o)=lim 注1 Δ∫(x0+△x)-f(x 反映的是自变量x从x改变到x+△x △r △ 时函数的平均变化速度,称为函数的平均变化率而导数 f(xn)=如ma反映的是函数在点x处的变化速度,也 称为函数在x处的变化率.∫(x)的值由x唯一确定 (极限的唯一性)
8 若此极限不存在, 则称ƒ(x)在点 x0 处不可导. 若令 = − x x x0 则 0 → → x x x 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x − = − , 从而 注1: 反映的是函数在点 x0 处的变化速度, 也 称为函数在 x0 处的变化率. 的值由 x0 唯一确定 (极限的唯一性). 0 0 y f x x f x ( ) ( ) x x + − = 0 0 ( ) lim x y f x → x = 0 f x ( ) 反映的是自变量x从x0 改变到x0+Δx 时函数的平均变化速度, 称为函数的平均变化率.而导数
注2:导数 ∫(x)=im f(x+△x)-f(x)(三统)可变化为 f(o=lim f(o +h)-f(o) li f(x)-f(x0) In h→0 h x→x0 若f(x)在,则 f(x0-△x)-f(x0) f(x0)-f( m cf(xo) im f∫"(x0) Ax→0 △ lim f(x0+h)-f(x0-h) h→>0 2h lim /(+h)-f(o)-1(xo-h)-f(*o) h→>0 2h f"(x)
注2：导数 0 0 0 (三统一)可变化为 0 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f x f x → x + − = 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim h x x f x h f x f x f x f x → → h x x + − − = = − 若 f x ( ) , 0 存在 则 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x f x x f x f x → x − − = − 0 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim h 2 f x h f x f x h f x → h + − − − − = 0 0 0 ( ) ( ) lim h 2 f x h f x h → h + − − 0 = f x '( ) 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x f x h → h − − = 0 f x '( )
例1.求函数f(x)=2x2在x=1处的导数f(1).(分几个步骤) 解在x=1处取得一个增量Δx,相应地 △y=21+△x)2-2=2(△x)2+4△x △y=2△x+4 △x △ ∫'(1)=lim lim(2△x+4)=4 △x→0△v△x→>0 定义2.如果函数f(x在某区间,b)内每一点都可导, 则称f(x)在该区间(a,b)内可导
定义2. 如果函数ƒ(x)在某区间(a, b)内每一点都可导, 则称ƒ(x)在该区间 (a, b)内可导. 例1.求函数 在x = 1处的导数 .(分几个步骤) 2 f x x ( ) 2 = f (1) 2 2 1 , 2(1 ) 2 2( ) 4 x x y x x x = = + − = + 解 在 处取得一个增量 相应地 2 4 y x x = + 0 0 '(1) lim lim(2 4) 4 x x y f x → → x = = + =