西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第九章 二重积分 第5节 广义二重积分

§9.5广义二重积分 类似于一元函数的广义积分对于二元函数也有两 类广义二重积分即可分为积分区域无限与被积函数无 界两种,下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法 定义3设D是xoy面上的无界区域,f(xy)在D上连续且G 是D上的任意一个闭区域上若G以任何方式无限扩展且 趋于D时均有imf(x,y)thy=r 则称此极限值Ⅰ为f(xy)在无界区域D上的二重积分,并 记为小/(xydy=m/(xy)d

1 §9.5 广义二重积分 即可分为积分区域无限与被积函数无 定义3 设D是xoy面上的无界区域,ƒ(x,y)在D上连续且G lim ( , ) G D G f x y dxdy I    I 为ƒ(x,y)在无界区域D上的二重积分,并 类似于一元函数的广义积分,对于二元函数也有两 类广义二重积分. 界两种,下面只研究无界区域上的二重积分的计算方法. 是D上的任意一个闭区域上.若G以任何方式无限扩展且 趋于D时,均有 则称此极限值 记为 ( , ) lim ( , ) G D D G f x y dxdy f x y dxdy    

当极限值存在时则称广义二重积分(xy)hy 收敛;否则,称广义二重积分发散 注1由定义3知:要求广义二重积分,只需仿照一元广 义积分,先求二重积分,再求二重极限即可 例2计算edd其中D是整个x平面 即 y<+∞ 解整个x平面用极坐标表示是D:0≤r<+0,0≤0≤2兀 2丌 dxdy de erdr D ,lim e rdrld0=2T. lim(1-e)=I b→+∞

2 I 存在时,则称广义二重积分 ( , ) D f x y dxdy  注1 由定义3知:要求广义二重积分,只需仿照一元广 收敛;否则,称广义二重积分发散. 再求二重极限即可. 当极限值 义积分,先求二重积分, 2 2 22 , , , . x y D e dxdy D xy x y            例 计算  其中 是整个 平面 即 解 整个xy平面用极坐标表示是D : 0  r  ,0   2 2 2 2 2 x y x y D e dxdy e dxdy              2 2 0 0 r d e rdr        2 2 0 0 [ lim ] b r b e rdr d        1 2 2 lim (1 ) . 2 b b  e       

注2利用上面的结果,可计算概率论中很重要的普哇 松积分[eakx 例23计算Ⅰ 解因e的原函数不能用初等函数表示,故用一元 广义积分的方法不能求出该积分的值但 x +∞P+0x2 0·-0 e

3 注2 利用上面的结果,可计算概率论中很重要的普哇 2 . x e dx    松积分 2 23 . x I e dx     例 计算  解 因 的原函数不能用初等函数表示,故用一元 2 x e  2 2 x y I e dx e dy           广义积分的方法不能求出该积分的值.但 2 2 2 x y I e dx e dy            2 2 x y e dxdy           . 2 . x I e dx        

注3若在普哇松积分ed中令x=女y 则」e 丌 则 y2兀 此式中的被积函数(x)= 是统计学中常用的 丌 标准正态分布的密度函数

4 注3 若在普哇松积分 中令 1 2 x  y, 2 1 2 2 . x e dx      则  2 2 1 1. 2 x e dx      则  此式中的被积函数 2 2 1 ( ) 2 x  x e    标准正态分布的密度函数. 2 x e dx    是统计学中常用的

树24计算 e 2022ddy(a1>0 >0) 0·-00 兀O1O 解令u x 0+ 则得 O y 12 →J 0(x,y)=202 O(,v) dxdy 0-∞2mo,0 dudy=1

5 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 24 ( 0, 0) 2 x x e dxdy                   例 计算   1 2 1 2 , , 2 2 x y u v       解 令   1 1 2 2 2 2 x y            则得 1 2 ( , ) 2 . ( , ) x y J u v        2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 x x e dxdy                  1 2 2 u v e dudv           1

6 谢谢! 祝同学们暑假愉快!