§23极限运算的基本法则及其运用 问题:根据极限的定义,只能验证某个常数A 是否为某个函数f(x的极限,而不能求出函数f(x的 极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运 算法则;并利用这些法则和§2.1及22中的某些结 论来求函数极限 一极限的四则运算法则 定理6.若lmf(x)=A,limg(x)=B.则 1).lim|f)±g(]=limf(x)±limg(ax)=A±B (2).limf(x)·g(x)=limf(x)·limg(x)=A.B; (3.当B≠0时lm f(x)limf(r)A g(r)ling(x)B
1 §2.3 极限运算的基本法则及其运用 问题: 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的 极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运 算法则; 并利用这些法则和§2.1及2.2中的某些结 论来求函数极限. 一.极限的四则运算法则 定理6. 若lim ƒ(x) = A, lim g(x) = B. 则 (1). lim [ƒ(x) ± g(x)] = lim ƒ(x) ± lim g(x) = A ± B; (2). limƒ(x) · g(x) = limƒ(x) · lim g(x) = A · B; (3).当 ( ) lim ( ) 0 ,lim . ( ) lim ( ) f x f x A B g x g x B 时
其证明可用定义.以极限过程为x→x0的证明(1)为 例.由|f(x)+g(x)}(4+B)|=|(x)-4+[g(x)- B|≤lf(x)-A|+|g(x)-B|即可 (1)、(2)的推广 im∑f1(x)=∑lmf1(x i=1 lim f: (x)=l lim f:(x) i=1 (2)中g(x=c时, lim cf(x=clmf(x (2)中f(x=g(x时,limf2(x)=[limf(x) 再推广:imr"(x)=limf(xr、其中为止整数)
2 其证明可用定义. 以极限过程为x→x0的证明(1)为 例. 由|[ƒ(x)+g(x)]–(A+ B) |=|[ƒ(x) – A] +[g(x) – B]|≤|ƒ(x) – A |+|g(x) – B |即可. (1)、(2)的推广: 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ), lim ( ) lim ( ). n n i i i i n n i i i i f x f x f x f x (2)中 g(x) = c 时, lim cƒ(x) = c limƒ(x). (2)中ƒ(x) = g(x) 时, 2 2 lim f (x) [lim f (x)] ; lim ( ) [lim ( )] . n n 再推广： f x f x 其中n为正整数
从而有多项式函数 若Pn(x)=a0x”+a1x+…+an,则 lim p(x)=P(x x→x0 有理分式函数 若F(x)=n Pn(x)anx+a1x”+…+a (x)b0xm+b1xm+…+bn 且Qn(x0)≠0, 则limF(x)=limn P,(r) P,(no) F(x0) r→ x-xo 2mn(x)2mn(ro) 例9.求 (1).lim(x2+8x-7);(4).lim( x→2 3x+1 2 6x+4 (5).lim x→1y2-5x+4 (3).lim x 3x+ 5x2+x-3 x→1x 2 (6).ir x→∞10x2+1
3 有理分式函数 1 0 1 ( ) , n n P n n x a x a x a 若 1 0 1 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) n n n n m m m m m P x a x a x a F x Q x Q x b x b x b 若 且 从而有多项式函数 0 0 lim ( ) ( ). n n x x P x P x 则 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) lim ( ). ( ) ( ) n n x x x x m m P x P x F x F x Q x Q x 则 例9. 求 2 1 2 2 1 2 2 1 ( 1 ) . l i m ( 8 7 ) ; 4 3 1 ( 2 ) . l i m ; 2 6 4 3 2 ( 3 ) . l i m ; 2 x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 2 2 1 (4).lim( ); 4 2 1 (5).lim ; 5 4 5 3 (6). lim . 10 1 x x x x x x x x x x x x
解(1)lim(x2+8x-7) im x tlim x im 7 1 1+8 4x 解(2)lim 12x 364 7×y x—xx lim 3x+1)8 lim(2x2-6x+4)123 解(3)加ix2-3x+2lm(x2-3x+2) 0 x-2 lim(x-x-2)
4 2 1 2 1 1 1 ( 1 ) l i m ( 8 7 ) l i m l i m 8 l i m 7 1 8 7 2 x x x x x x x x 解 2 2 1 2 1 2 1 4 3 1 ( 2 ) lim 2 6 4 lim ( 4 3 1 ) 8 2 lim ( 2 6 4 ) 1 2 3 x x x x x x x x x x x 解 2 2 1 2 2 1 1 lim( 3 2) 3 2 (3) lim 0 2 lim( 2) x x x x x x x x x x x 解
解(4)lim( )=lim te (x+2 x-2)(x+1)3 lim x→2(x-2)(x+2)4 x2-1 (x-1)(x+1)2 解(5)im2-5x+4 lim →1 1(x-1)(x-4)3 5+ 解(6)lim 5x2+x-3 Im x→∞10x2+1 x→0 10+
5 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 ) ( 4 ) lim ( ) lim 4 2 4 ( 2 )( 1) 3 lim ( 2 )( 2 ) 4 x x x x x x x x x x x x x 解 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) 2 (5)lim lim x 5 4 x ( 1)( 4) 3 x x x x x x x 解 2 2 2 2 1 3 5 5 3 1 ( 6 ) lim lim . 1 0 1 1 2 1 0 x x x x x x x x 解
对有理分式函数F(x,在x→∞0时极限有如下讨论: m=n imox"+axn+…+an bx+b, -1 m-={0m>n, …十 oo m x+ x de lim f(x),lim f(x), lim f(x) x→+Q
6 对有理分式函数F(x), 在x→∞ 时极限有如下讨论: 1 0 1 1 0 1 lim n n n m m x m a x a x a b x b x b 0 0 0 , a m n b m n m n 0 0 其中a 0,b 0,且m,n为正整数. 例10. 设 2 2 1 1 ( ) 5 1 2 x x f x x x x x 求 1 0 lim ( ), lim ( ), lim ( ). x x x f x f x f x
解f(1+)=2,∫(1-)=2→limf(x)=2 im f(x)=lim (x +1)=l →0 x+5 lim f(x)=lim 2x2+x 例11.求li (m,n为正整数) n n 特殊地:li x-1 解lim lim (x-1)(x +x"2+…+1)n x→1x"-1x→1(x-1)(x m-1 +ym-2 1(x-1)( n-2 y+x"-+… 特殊地:lim n (x-1)
7 解 1 2 0 0 2 (1 ) 2 , (1 ) 2 lim ( ) 2; lim ( ) lim ( 1 ) 1; 5 lim ( ) lim 0 . 2 x x x x x f f f x f x x x f x x x 例11. 求 1 1 1 lim ( , ); 1 1 lim 1 n m x n x x m n x x x 为 正 整 数 特 殊 地 ： 1 2 1 2 1 1 1 ( 1)( 1) lim = lim 1 ( 1)( 1) n n n m m m x x x x x x n x x x x m 解 1 2 1 1 ( 1)( 1) lim 1 ( 1) n n n x x x x x n x x 特殊地 ：
例12.(1)求lim (2x-1)30(3x-2)20 (2x+1 50 x→0 99 x0x”-(+分=n(n≠0)求常数m与 (2)若lim n。 (2x-1)°(3x-2) 20 2303 20 3 20 解(1)li (2x+1)0 20 解(2)lim (x+1) m=n,常数m=100n 100 复合函数的极限运算法则 定理7.如果函数y=f(li),u=φ(x满足条件 (1)limg(x)=a且x∈U(x0,)皆有q(x)≠a; x→x0 (2)lim∫(u)=A; L→a 则复合函数f{p(x)],当x→x时的极限也存在,且 imflφ(x)=limf(u)=A x→x0 l→a
8 例12. 30 20 50 99 (2 1) (3 2) (1). lim ; (2 1) (2). lim ( 0) . ( 1) x m m x x x x x n n m n x x 求 若 求常数 与 二.复合函数的极限运算法则 定理7. 如果函数 y =ƒ(u) , u =φ(x)满足条件： 0 (1) lim ( ) x x x a (2)lim ( ) ; u a f u A 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u a f x f u A 0 0 且 x U ( x , ) 皆 有 ( x ) a ; 则复合函数ƒ[φ(x) ], 当x→x0时的极限也存在, 且 3 0 2 0 3 0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 ( 2 1 ) ( 3 2 ) 2 3 3 (1 ) lim . x ( 2 1 ) 2 2 x x x 解 99 1 (2)lim , 100 ( 1) 100 m m x x n m n x x 解 常数
其理论证明(略).但须指出以下两点 (1).也可将此定理中的极限过程改为x-→,或者将 9(x)的极限a改为∞(即只须外函数极限存在),结 论同样成立 ().此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是 存在的,同时也说明用变量替换的方法去计算复合 函数的极限是可行的,即f(u)与=q(x)满足定理条 件,则通过变换u=g(x),即可把求imJp(x)的 问题转换为求imf(u)或limf(a) →a
9 其理论证明(略). 但须指出以下两点： (1).也可将此定理中的极限过程改为x→∞, 或者将 φ(x)的极限 a 改为 ∞ (即只须外函数极限存在), 结 论同样成立. (2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是 存在的, 同时也说明用变量替换的方法去计算复合 函数的极限是可行的, 即ƒ(u)与u = φ(x)满足定理条 0 lim [ ( )] x x f x lim ( ) lim ( ) u a u f u f u 或 件, 则通过变换 u = φ(x) , 即可把求 的 问题转换为求
例13求 (1).lim arctan 提示 则limn 0当x>0时 u (2). lim arctan x→0 x0(+0当x→)0时 故应当考虑左、右极限. 三曲线的渐近线 定义当曲线y=f(x上动点 M沿着曲线无限远离原点移动 y=f( 时,若该动点M到某直线L的距 L: y=ax+b 离无限趋近于零(如右图),则称 此直线L是曲线y=f(x)的渐 近线
10 例13.求 0 1 1 0 1 (1).lim arctan ; 1 1 (2).lim arctan . 1 x x x x x e x e 提示： 0 1 0 , lim x 0 x u u x x 当 时 令 则 当 时 三.曲线的渐近线 定义 当曲线 y = ƒ(x)上动点 M沿着曲线无限远离原点移动 时,若该动点M到某直线L的距 离无限趋近于零(如右图),则称 此直线L是曲线y = ƒ(x) 的渐 近线. o x y y=ƒ(x) ˘ »α α M Q • L:y=ax+b • • 故应当考虑左、右极限