§6.6定积分的应用 定积分的应用极其广泛,以下仅介绍它在几何与经 济上的应用;并希望同学们通过本章的学习能熟练地的 运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法微元法 (元素法) 微元法的基本思想 如图:曲边梯形AabB的面积为 定积分(x,而这个积分的被积 y=f(x) 表达式f(x)dx,正好是区间[a,b]上 的任意小区间[x,x+Ax上的窄曲边 梯形DEF面积AS的近似值,而
1 § 6.6 定积分的应用 定积分的应用极其广泛, 以下仅介绍它在几何与经 济上的应用; 并希望同学们通过本章的学习能熟练地的 运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法—— 一.微元法的基本思想 o x y=ƒ(x) a b B A x x+Δx H C D E F 如图:曲边梯形 AabB 的面积为 定积分 ( ) , b a f x dx y 微元法. (元素法) 表达式 ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]上 的任意小区间[ x, x + ∆ x] 上的窄曲边 梯形 而这个积分的被积 DEFH 面积ΔS 的近似值, 而
当△x=dx→0时,△S=f(x)dx+o(dx) f(x) B 根据微分的定义有f(x)dx=dS.即 求曲边梯形AabB的面积S的方法为 (1)在[a,b上任取一个小区间[x,x+dx],并求出总量S的 微分dS=f(x)dx;(面积微元 (2)以微分表达式f(x)dx为被积表达式,在a,b上作定积分 (面积微元进行求和累加) s=as=5,f(x)dx 即可
2 (2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 根据微分的定义有ƒ(x)dx = dS. 即 求曲边梯形 AabB 的面积 S 的方法为: (1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 S 的 微分dS = ƒ(x)dx ; ( ) b b a a S dS f x dx = = 当∆x = dx→0时, ΔS=ƒ(x)dx + o(dx). o x y=ƒ(x) a b B A x x+Δx H C D E F y (面积微元) 即可。 (面积微元进行求和累加)
抛开S的具体含义,把这种思想加以抽象,就得到 微元法思想的表述: 若总量与变量x的变化区间[a,b有关,且对区间具有 可加性(即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之 和) 在区间[x,x+dx]上对应分量的近似值为f(x)dx, 则有dA=/(odc且总量为A=-Jf(x) 数学上将这种思想方法称之为微元法.总量A的微 分dA=f(x)dx,称为总量A的积分微元
3 抛开 S 的具体含义，把这种思想加以抽象, 就得到 微元法思想的表述: 数学上将这种思想方法称之为微元法. 总量A的微 分dA=ƒ(x)dx, 称为总量A 的积分微元. 则有dA=ƒ(x)dx且总量为 ( ) . b a A f x dx = 可加性 (即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之 和); 若总量与变量 x 的变化区间[a, b]有关, 且对区间具有 在区间[x , x + d x ] 上对应分量的近似值为ƒ(x)dx
平面图形的面积 求平面图形面积的步骤 (1)选取积分变量x (过点x作垂直于x轴的直线穿区域D,是一进一出 或y(过点p作垂直于y轴的直线穿区域D,是一进出) 及积分区间 ()写出面积微元dS dy (3)作定积分S=()dk Xy(y) 注:在选择积分变量时,还要考虑图形特征
4 二.平面图形的面积 o y y=ƒ(x) a x x+dx b y=g(x) (2) 写出面积微元dS x 求平面图形面积的步骤: (1) 选取积分变量 x 或 y (3) 作定积分 ( ) b a S f x dx = 注: 在选择积分变量时, 还要考虑图形特征. (过点x作垂直于 x 轴的直线穿区域D, 是一进一出) (过点 y 作垂直于y 轴的直线穿区域D, 是一进一出) 及积分区间. o x=φ(y) c d y+dy y x=ψ(y) x y
1.若平面图形D被夹在直线x=a与x=b之间,且其 上下边界的方程分别为y=f(x)和y=g(x)则图形的面积为 s=l If(x)-g(x)ldc 分析对任意的x∈[a,b], 作垂直于x轴的直线穿区域D 是从g(x)进,从f(x)出 则以dx为底,f(x)-g(x)为高的小窄矩形面积微元 ds=[f(x-g(x)jdx
5 1. 若平面图形 D 被夹在直线 x = a与x = b之间, 且其 上下边界的方程分别为 y = ƒ(x)和 y = g(x) 则图形的面积为 [ ( ) ( )] b a S f x g x dx = − 则以dx为底, ƒ(x) – g(x)为高的小窄矩形面积微元 o y y=ƒ(x) a x x+dx b y=g(x) x 分析: 对任意的x∈[a , b], 作垂直于x轴的直线穿区域D, 是从 g(x) 进, 从ƒ(x)出; dS = [ƒ(x)–g(x)]dx
例24计算由两条抛物线:y2=x,y=x2所围成图形的面积。 解为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形 为了定出图形的所在范围,应先求 出这两条抛物线的交点,为此, 解方程组 即这两条抛物线的交点为(0,0)及(1,1)。0 x+dx 从而知道这图形在直线x=0及x=1之间 取x为积分变量,且x∈[11微元为=(x-x2)x 则S=∫(-x)=12x 3103
6 例 24 计算由两条抛物线: y x y x 2 2 = = , 所围成图形的面积。 解 o x 2 y x = (1,1) x x+dx 1 2 y x = y x = y 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 为了定出图形的所在范围, 应先求 出这两条抛物线的交点，为此, 解方程组 2 2 y x y x = = 0 1 , 0 1 x x y y = = = = 即这两条抛物线的交点为 (0, 0) 及(1, 1)。 从而知道这图形在直线 x = 0 及 x = 1 之间。 取 x 为积分变量, 且 x ∈[0,1], 微元为 2 dS x x dx = − ( ) 1 2 0 S x x dx = − ( ) 则 3 3 2 2 1 1 [ ] 3 3 3 0 x = − = x
2若平面图形D被夹在直线y=c与y=d之间,且其左 右边界的方程分别为x=9()及x=v(y),则图形的面积为 S=Io()-v(y)]dy 分析:对任意的y∈c,d, 作垂直于y轴的直线穿区域D, 是从v()进,从p(y)出; o( xyy) 则以y为底,(y)V()为高的小窄矩形面积微元 ds=[)-yl) dy
7 2. 若平面图形 D 被夹在直线 y = c 与 y = d 之间，且其左 右边界的方程分别为x =φ (y) 及x =ψ (y), 则图形的面积为 [ ( ) ( )] d c S y y dy = − o x=φ(y) c d y+dy y x=ψ(y) x 则以dy为底, φ(y)–ψ(y)为高的小窄矩形面积微元 y 分析: 对任意的y∈[c, d], 作垂直于y 轴的直线穿区域D, 是从ψ(y)进,从φ(y)出; ds = [φ(y)–ψ(y)] dy
例25计算由抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成图 形的面积。 解为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形。 为了定出图形的所在范围,应先 求出抛物线和直线的交点,为此, (84) 解方程细y2=2x∫x=2x=8 x-4(y=-2(y=4 x=y+4 即这两条抛物线的交点为(2,-2)及(8,4)。 从而知道这图形在直线y=-2及y=4之间。 取y为积分变量,且y∈-2,4,微元为dS=(y+4-y2)
8 o y – 4 (2,– 2) y y+dy y=x–4 2 y x = 2 为了定出图形的所在范围, 应先 求出抛物线和直线的交点，为此, 1 2 2 x y = 例 25 计算由抛物线 与直线 y = x - 4 所围成图 形的面积。 2 y x = 2 解 为了求出面积, 一般先划出两条曲线所围成的图形。 (8,4) 即这两条抛物线的交点为 (2, -2) 及 (8, 4)。 解方程组 2 2 4 y x y x = = − 2 8 , 2 4 x x y y = = = − = 从而知道这图形在直线 y = -2 及 y = 4 之间。 取 y 为积分变量,且 y ∈[-2, 4], 微元为 1 2 ( 4 ) 2 dS y y dy = + − x x=y+4
则A=,(y+4-y2)=(y2+4y-y2 思考:若选x为积分变量,应该如何做?请同学们课后 自己作一下
9 4 2 2 1 ( 4 ) 2 A y y dy − = + − 2 3 1 1 4 ( 4 ) 18 2 6 2 = + − = y y y 则 − 思考: 若选 x 为积分变量，应该如何做? 请同学们课后 自己作一下. o x y (2,– 2) (8,4) 4 8 – 4
例26设曲线y=1-x2,x轴与y轴在第一象限所围的图形 被曲线y=ax3(a>0)分为面积相等的两部分,试确定的值 解如图,解方程组 Pa2得的1a y=1 √1+a1+a 而S1=「(1-x2-a2dt =1 [x-=(1+a)xl1+a 3√1+a 0 再由=2S得3+a (1-x2)x 3 解之得a=3
10 例26 设曲线 x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形 被曲线 分为面积相等的两部分，试确定的值。 2 y x = −1 , 2 y ax a = ( 0) 解 如图， 1 ( , ) 1 1 a + a + a 得交点 而 1 2 2 1 1 0 (1 ) S x ax dx = − − +a 2 3 1 a = + 再由 1 1 2 S S = 1 2 0 2 1 (1 ) 3 1 2 x dx a = − + 2 2 y x 1 y ax = − = 3 1 1 [ (1 ) ] 1 3 0 = − + x a x + a 得 解之得 a = 3 1 3 = 2 y x = −1 2 y ax = 1 a + a 1 1+ a y 0 x 1 1 S S2 解方程组