EI青米多维奇 数学分析习题集题解 (四) 费定晖周学圣编廣 郭大钩邳品琮主审 山东科学技术出版社
目 录 第五章级数…………………………………1 §1.数项级数，同号级数收敛性的判别法………1 82.变号级数收敏性的判别法 …………………70 83.级数的运算 ………… 119 4.函数项级数 ……………131 §5.幕级数………………… 216 §6.福里叶级数 333 87.级数求和法 388 §8.利用级数求定积分之值 ……439 9.无穷乘积 ……………451 §10.斯特林格公式………………………………507 §11.用多项式逼近连续函数………………… 511
第五章级数 §1.数项级数同号级数收敛性 的判别法 12,般概念对于数项级效 +a2+…+a+…=∑ 若 imS=S(级数的和 存在,式中S=a1+a2+…十a则称级数(1)为收敏的,反之,则称级 数(1)为发傲的 2于西准则级数(1)收敛的充分且必要的条件为对于任何的e> 0,都存在有数N=N(e),使得当n>N和p>0时,不等式 s,--1|a 成立 特别是,若级数收敛,则 lima,=0. 3°比较判别法I,设除级数(1)外,还有级数 b1+b2+…+b+ (2) 若当n≥n不等式 ≤b 成立,则1)从级数(2)收敛可推得级数(1)收做;2)从级数(1)发散可推 得级数(2)发敬
待别是,当n→∞若an~bn则正项级数(1)和(2)同时收敛或同时 发散 4°比较判别法I.设 O 则(a)当P>1时级数(1)收敛,()当p≤1时级数(1)发散 5达朗伯耳判别法若an>0(n=12,…)及 inman 则(a)当q1时级数(1)发散。 6°哥西判别法若an≥0(n=1,2,…)及 则(a)当1时级数(1)发散。 7拉阿伯判别法若an>0(n=1,2,…)及 limn(-1)=p, 则〔a)当φ>1时级数(1)收敛,(6)当p0(n=12…)及 =k+2+ a + 式中||0则(a)当>1时级数(1)收敛,(6)当A1则级数(1)收敛;若K≤1则级数(1)发 散 9°哥西积分的判别法若f(x)(x>0)是非负的不增函数,则级数 (n) ①记号O·的意义参阅第一章§6,1°
与积分 f(x)dx 同时收敛或同时发散。 直接证明下列级数的收敛性并求它们的和 2546.1-1+ 2+48 …十 解由于 11_1 2 1 故得 nS= 即所给级数收敛,且其和为2(以下有关各题省略这两 句话) 2547 1 +3)+(2+32|+…+(2+3+ 解由于 S-(2+13)+(2+2+…+(录+副) +22+…+}+++… 1 2 故得 s=lims.=i 1
2548 × 解由于 2 。+… n 从而有 2++…+纽n-3+2n=1 S,=S S 十… 1+1+… 2n-1 1十 2n-1 故得 S=limS. =1+-1 1 2549.1+a1+1+…+ n(n+1) 解由于 S 十元·3 … 1 1-2)+(2-3)+…+(-n) 故得 S=limS,=l
250.0,4+47+…+(3n-2(3n+1y+… 解由于 =1·4+4·7 (3n-2)(3n+1) (3k-2)(3k+1 3-23k+I 故得 s=limS 2551.(a) sina+q2sin2a+…q"sina+…(lq|<1); (6)qcosd-+q'cos2a+ p● cosma+…(|q|<1) 解令x=q(cosa+ sina)=q",其中i=√一1. 于是得|z|=|q|<1,并且有 cosma 之 ginny (1) 及 2x= gcosa-tgsine (1--gcosa)tigrina l-2gcosa+q (2) 比较(1)、(2两式的实部及虚部,即得 asIna sinna sina .cosa +92 (6)∑ costa=∑osna-1 5
cosa 9cosa--q 2 2gcosa+q 2552.∑(√n=2-2√m+1+√n) 解由于 Sn=(√3-2√2+1)+(√4-2√3+√2) +(√5-2√4+√3)+(√6 +√4)+…+(√n+2-2√n+1+√n) 1-√2+√n+2√n+1=1-√ √n+2+√n+1 故得 S= linS=1-√2 2553研究级数∑sinx的收敛性 解记x=k.若k为整数,则由 SInn:=0知级数 sinn]T是收敛的,且其和为零.若k非整数,我们以下 将证sinx并不趋于零于是级数∑sin发散可采 用反证法.假设 limsinnx=0, 则当n-∞时也有sin(n+1)x→0.但是 sin (n+1)x=sinnxcosrfcosnrsinnx, 由sin(》+1)x→0及 sInn→0(当n→∞时)知 cosntsin z→0(当n→∞时),而sin= sink≠0,故必有 IncoN 0 6
但 1=sin"nx+cosnx 令n→∞,两端取极限,即得左端为1而右端为0,这就 产生了1与0相等的谬论,这个矛盾证明了此假设不 真,也即sinx+0(当n→∞时),从而级数∑sinx的 发散性获证, 2554.证明,若级数∑a收敛则把该级数的项经过组合而不 变更其先后次序所得的级数 ∑A,其中A, a(p1=1,内<户2<…) 也收敛且有相同的和反之不真.举出例子 证设级数∑A的部分和叙列为 l1,l2,…L 则l=∑A 由于级数∑a收敏,故其部分和叙列{S}趋于定 值S.因此, liml=limS力n+-1=S, 即级数∑A是收做的,且与级数∑a有相同的和 反之不真.例如,级数 1-1+1-1+…+(-1)1+… 是发散的,但按下述方法组成的级数
(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+ 却是收敛的. 2555证明,若级数∑an的各项是正的而把这级数的项经过 组合而得到的级数∑A.收敛则原来的级数∑a也 收敛 证由于∑A收敛,记其和为S考虑原级数的部分 和S。=∑a4并注意到a>0(=1,2,…),故存在 ,使 S ,<>A<s 显然S,<S+;对一切n成立.于是,{Sn}单调上升且有 界因此极限limS存在有限,即原级数∑a收敛 研究下列级数的收敛性: 2556.1-1+1-1+1-1+ 解由于通项an=(-1)1当n→∞时的极限不存 在更不可能趋于零故级数∑(-1)1发散 2557.0.001+√0.001+列0.001 解由于 iman=lm√0.001=1≠0, 一一 故级数∑0.001发散 8