西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第九章 二重积分 第4节 在极坐标系下二重积分的计算

§94在极坐标系下二重积分的 计算 在二重积分的计算中最基本最常用的换元法是 极坐标法 x=rcos 当变换为极坐标变换 的特殊情形下, y=raine 6 其雅可比行列式为J ar a0 CoS ay ay sin o rcos Orl ar a0

1 §9.4 在极坐标系下二重积分的 计算 在二重积分的计算中,最基本最常用的换元法是 当变换为极坐标变换 cos sin x r y r        cos sin . sin cos x x r r J r y y r r r                   其雅可比行列式为 极坐标法. 的特殊情形下

注1J仅在r=0处为零,故不论闭区域D是否含有极点, 换元公式仍成立即 f(x, y)dxdy f(rcos e, rsinO)rdrde 注2因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与D 是同一平面区域,只是D的边界方程是关于xy的方 程,而D'的边界方程是关于r,O的方程故上式又可 写成: f(, y)dxdy=lf(rcosO, rsin O)rdrde 注3当二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标 表示比较方便(如D为圆形、环形、扇形等)或被积函 数用极坐标变量r,θ表示比较简单(如被积函数为

2 注1 J 仅在r  0处为零,故不论闭区域D是否含有极点, 换元公式仍成立.即 ( , ) ( cos , sin ) . D D f x y dxdy f r  r  rdrd     注2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与 是同一平面区域,只是D的边界方程是关于x,y的方 程,而 的边界方程是关于r,θ 的方程.故上式又可 写成: D D ( , ) ( cos , sin ) . D D f x y dxdy  f r  r  rdrd   注3 当二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标 表示比较方便(如D为圆形、环形、扇形等)或被积函 数用极坐标变量 r,θ 表示比较简单(如被积函数为

f(x2+y2),f(),f()等时我们通常采用极坐标来计 算二重积分.极坐标系中的二重积分的计算也要化为 二次积分来计算 注4设积分区域城为D{1(75() a≤6sB 显然D的边界方程为=a,0=B, D 2 r=r(),r=r2( 0=a 此区域D必须满足:过原点任意 条射线O=常数去穿区域D,与D的边界曲线之交点 不多于两个即一进一出.且有

3 2 2 ( ), ( ), ( ) y x f x y f f x y  算二重积分. 极坐标系中的二重积分的计算也要化为 等)时,我们通常采用极坐标来计 二次积分来计算. 此区域D必须满足:过原点任意 注4 设积分区域为 1 2 ( ) ( ) : r r r D             显然D的边界方程为θ =α,θ =β, 2 r  r ( ) 1 r  r ( ), r D α β 2 r  r () 1 r  r() θ=α O θ=β 一条射线θ =常数 去穿区域D,与D的边界曲线之交点 不多于两个,即 一进一出.且有

F2(6) f(rcos O, rsin O)rdrde= de f(rcos e, rsin O)rdr 有两种特殊情形需注意 (1)极点0在区域D的边界上,此时r(0)=0, 0=B 而积分区域D为如图所示的曲边扇形, 可用不等式表示为 D'r=r(e 6=a 0≤r≤n2(6) D O a≤6≤B 且有 r(6) f(rcosO, rsin O)rdrde =do f(rcos e, rsinOrdr 0

4 2 1 ( ) ( ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) r r D f r r rdrd d f r r rdr               而积分区域D为如图所示的曲边扇形, 有两种特殊情形需注意： (1) 极点o在区域D的边界上,此时 1r()  0, r D α β r  r() θ=β θ=α O 可用不等式表示为 2 0 ( ) : r r D            且有 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r D f r r rdrd d f r r rdr             

(2)极点0在区域D的内部(如图),此时积分区域D可用 不等式表示为D 0≤r≤12(6) 0<b<2丌 =r() 且有 D f(rcos O, rsinOrdrdo do f(rcos O, rsinO)rdr 例4计算=exa其中D为圆域:x2+y2≤1 0<r≤1 解在极坐标系下,D O 0<b<2丌

5 (2) 极点o在区域D的内部(如图),此时积分区域D可用 r D θ r  r() O 2 0 ( ) : 0 2 r r D           且有 2 ( ) 0 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) r D f r r rdrd d f r r rdr             不等式表示为 2 2 2 2 14 , : 1. x y D I e dxdy D x y      例 计算  其中 为圆域 r D θ r 1 O 0 1 , : 0 2 r D          解 在极坐标系下

D rare del e rdr 0 2Tl--e 丌(-e 注5此题如不用极坐标而用直角坐标因e不能 用初等函数表示积分就难以进一步计算故采用极 坐标,不仅可简化计算,甚至只有它才能计算出二重 积分之值

6 2 2 x y D I e dxdy    则  2 r D e rdrd    2 1 2 0 0 r d e rdr       2 1 1 0 1 2 [ ] (1 ). 2 r  e  e       注5 此题如不用极坐标而用直角坐标.因 2 x e dx   用初等函数表示,积分就难以进一步计算.故采用 坐标, 积分之值. 不能 极 不仅可简化计算,甚至只有它才能计算出二重

5计算∫√x2+ylo其中D是由圆x+y22x 所围成的区域 解积分区域D如图所示,并 2 cose r COs =rsin e D 则D的边界方程为r=2cos0. x2+y2≤2x 0<r≤2c0s6 故在极坐标系下,D 则』y2+ydo=f-r=j3 do[ r2dr

7 2 2 2 2 15 , 2 D x  y d D x  y  x 例 计算 其中 是由圆 r  2cos o x 2 2 2 x  y  2x     D θ 2    所围成的区域. 解 积分区域D如图所示,并 cos sin x r y r        令 则D的边界方程为r=2cosθ. 0 2cos , : 2 2 r D               故在极坐标系下 2 2 D D x  y d  rrdrd 则   2cos 2 2 0 2 d r dr         y

32 I COS 0de cosd 例6把积分/-01的+2时广M 化为极坐标形式的累次积分 解在直角坐标系下积分区域D如图所示,显然 区域D为扇形,则将其转换为极坐标形式 0<r≤1 即D: 0≤0≤m/4 del f(tan Or)rdr

8 2 2 2 1 1 0 0 2 2 0 16 ( ) ( ) . x y x y I dx f dy dx f dy x x    例 把积分     化为极坐标形式的累次积分 x y o D θ 2 2 ( 2 2, 2 2) 解 在直角坐标系下积分区域D如图所示,显然 1 0 1 : 0 4 r D          即 1 4 0 0 I d f (tan r)rdr        区域D为扇形,则将其转换为极坐标形式. 2 3 0 16 32 cos 3 9. d       2 3 2 8 cos 3 d       

例7计算/=』[ le sinx'y+xlm(1+x2+y)+2l 其中D:x2+(y-2)2≤4 分析此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系, 何种积分次序, esin x3y和xeln(1+x2+y2)的原函数 都求不出来,常规解法已失效 但如图积分区域D关于y轴对称, 因被积函数 e, sin x'y+ xe In(1+x+y)+2 关于x是奇函数则 [e"sinx'y+xe+x2+y)lda=0 故此时可先对x再对进行累次积分计

9 2 2 3 2 2 2 2 17 [ sin ln(1 ) 2] , : ( 2) 4. y x D I e x y xe x y d D x y          例 计算  其中 分析:此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系, 2 2 3 2 2 sin ln(1 ) y x e x y 和 xe  x  y x y o D 2 但如图,积分区域D关于y轴对称, 2 2 3 2 2 sin ln(1 ) 2 y x e x y  xe  x  y  因被积函数 的原函数 都求不出来,常规解法已失效. 何种积分次序, 关于x是奇函数,则 2 2 3 2 2 [ sin ln(1 )] 0 y x D e x y  xe  x  y d   故此时可先对x再对y进行累次积分计

I=12d=2d=8丌 定理3若函数f(xy)在闭区域D上连续,区域D关于 y轴对称, (1)若f(xy)关于x是奇函数,即f(-xy)=f(xy),则 f(x, yido=0 (2)若f(xy)关于x是偶函数,即f(-xy)=f(xy),则 ∫f (, y)do=2ll f(,y)de 其中D为区域D在j轴右边的子区域

10 定理3 若函数ƒ(x,y)在闭区域D上连续,区域D关于 (1) 若ƒ(x,y)关于x是奇函数,即ƒ(–x,y)=–ƒ(x,y),则 ( , ) 0 D f x y d   (2) 若ƒ(x,y)关于x是偶函数,即ƒ(–x,y)=ƒ(x,y),则 1 ( , ) 2 ( , ) D D f x y d  f x y d   y轴对称, 其中D1为区域D在y轴右边的子区域. 2 D  I  d  2 8 . D  d   