、小挠度弹性薄板的基本假设 在弹性力学里,两个平行面和垂直于这两个平行面所围成的柱面或棱柱面简 称板。两个板面之间的距离h称厚度,平分厚度h的平面称为板的中面。如果 板的厚度h远小于中面的最小边尺寸b例如b/8~b/5),这种板称薄板。当薄板 弯曲时,中面所弯成的曲面称为薄板的弹性曲面,而中面内各点在横向的(即垂 直于中面方向的)位移称挠度。水泥混凝土板属于小挠度弹性薄板,也就是说虽 然板很薄,但仍然具有相当的弯曲刚度,因而其挠度远小于厚度。 研究弹性小挠度薄板在垂直于中面的荷载(板顶为局部范围内的轮载,板底 为地基反力)的作用下的弯曲时,通常采用下述三项基本假设 (1)垂直于中面方向的应变εz极其微小,可以忽略不计。因此由ez 得W=W(x,y),说明竖向位移W仅是平面坐标(xy)的函数,也就是说,在中面 的任一根法线上,薄板全厚度范围内的所有各点都具有相同的位移W (2)垂直于中面的法线,在弯曲变形前后均保持为直线并垂直于中面,因而无 横向剪切应变,即 E Zx=E zy=O (16-2) (3)中面上各点无平行于中面的位移,即(U)0=(V)=0=0 由第(2)和第(3)点假设,应用几何方程可得到应变与竖向位移的关系式: (16-3) 对于弹性地基薄板,板与地基的联系又采用了如下假设: ①在变形过程中,板与地基的接触面始终吻合,即板面与地基表面的竖向位 移是相同的 ②在板与地基的两接触面之间没有摩阻力(可以自由滑动),即接触面上的剪 应力视为零。 、板挠曲面微分方程 从板上割取长和宽各为dk和d高为h的单元,作用于单元上的内力和外力 如图16-1所示。根据单元的平衡条件(ΣZ=0,ΣMy.ΣM=0)可导出当板表面 作用竖向荷载p,地基对板底面作用竖向反力q时,板中心挠曲面的微分方程为:3 一、小挠度弹性薄板的基本假设 在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面所围成的柱面或棱柱面简 称板。两个板面之间的距离 h 称厚度，平分厚度 h 的平面称为板的中面。如果 板的厚度 h 远小于中面的最小边尺寸 b(例如 b/8～b/5)，这种板称薄板。当薄板 弯曲时，中面所弯成的曲面称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在横向的(即垂 直于中面方向的)位移称挠度。水泥混凝土板属于小挠度弹性薄板，也就是说虽 然板很薄，但仍然具有相当的弯曲刚度，因而其挠度远小于厚度。 研究弹性小挠度薄板在垂直于中面的荷载(板顶为局部范围内的轮载，板底 为地基反力)的作用下的弯曲时，通常采用下述三项基本假设： (1)垂直于中面方向的应变εz 极其微小，可以忽略不计。因此由εz＝   z w = 0 得 W=W(x，y)，说明竖向位移 W 仅是平面坐标(x,y)的函数，也就是说，在中面 的任一根法线上，薄板全厚度范围内的所有各点都具有相同的位移 W。 (2)垂直于中面的法线，在弯曲变形前后均保持为直线并垂直于中面，因而无 横向剪切应变，即 εzx=εzy=0 (16-2) (3)中面上各点无平行于中面的位移，即(U)z=0＝（V）z=0＝0 由第(2)和第(3)点假设，应用几何方程可得到应变与竖向位移的关系式：    x z w x = − 2 2    y z w y = − 2 2     yx z w x y = −2 2 （16-3） 对于弹性地基薄板，板与地基的联系又采用了如下假设： ①在变形过程中，板与地基的接触面始终吻合，即板面与地基表面的竖向位 移是相同的； ②在板与地基的两接触面之间没有摩阻力(可以自由滑动)，即接触面上的剪 应力视为零。 二、板挠曲面微分方程 从板上割取长和宽各为 dx 和 dy 高为 h 的单元，作用于单元上的内力和外力 如图 16-1 所示。根据单元的平衡条件(ΣZ＝0，ΣMy，ΣMx=0)可导出当板表面 作用竖向荷载 p，地基对板底面作用竖向反力 q 时，板中心挠曲面的微分方程为：