§6实对称矩阵的标准形 由第五章得到,任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵,换句话说,都有 一个可逆矩阵C使CC成对角形现在利用欧氏空间的理论,第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强这一节的主要结果是 对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使 TAT=T-lAT 成对角形 引理1设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数 对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间R上定义一个线性变换A如下 显然A在标准正交基 0 0 下的矩阵就是A 引理2设A是实对称矩阵,用的定义如上,则对任意a,B∈R”,有 (Aa,B)=(a,B), B(Aa)=aAB 定义12欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换 容易看出,对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵用对称变换来反 映实对称矩阵,一些性质可以看得更清楚 引理3设A是对称变换,V是-子空间,则V也是子空间 引理4设A是实对称矩阵,则R"中属于A的不同特征值的特征向量必正交§6 实对称矩阵的标准形 由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有 一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是： 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 T AT T AT −1  = 成对角形. 引理 1 设 A 是实对称矩阵，则 A 的特征值皆为实数. 对应于实对称矩阵 A ，在 n 维欧氏空间 n R 上定义一个线性变换 A 如下： A               =               n n x x x A x x x   2 1 2 1 . (1) 显然 A 在标准正交基               =               =               = 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 1 2     n    (2) 下的矩阵就是 A . 引理 2 设 A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意 n ,   R ，有 (A  ,  )=(  ,A  ), (3) 或  (A) =A 定义 12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换. 容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反 映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚. 引理 3 设 A 是对称变换， V1 是 A-子空间，则 ⊥ V1 也是 A-子空间. 引理 4 设 A 是实对称矩阵，则 n R 中属于 A 的不同特征值的特征向量必正交