定理7对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使成 TT=T-AT对角形 下面来看看在给定了一个实对称矩阵A之后,按什么办法求正交矩阵T使 T4T成对角形在定理的证明中看到,矩阵A按(1)式在R中定义了一个线性变换 求正交矩阵T的问题就相当于在R"中求一组由A的特征向量构成的标准正交基 事实上,设 n 72 是R"的一组标准正交基,它们都是A的特征向量显然,由61,52,…,En到 7,72…;n的过渡矩阵就是 T T是一个正交矩阵,而 T AT= TAT 就是对角形 根据上面的讨论,正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行: 1.求出A的特征值设A,…,λ是A的全部不同的特征值 2.对于每个λ,解齐次方程组 求出一个基础解系,这就是A的特征子空间V的一组基由这组基出发,按定理 2的方法求出V的一组标准正交基mn…,7定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使成 T AT T AT −1  = 对角形. 下面来看看在给定了一个实对称矩阵 A 之后，按什么办法求正交矩阵 T 使 T AT 成对角形.在定理的证明中看到，矩阵 A 按(1)式在 n R 中定义了一个线性变换. 求正交矩阵 T 的问题就相当于在 n R 中求一组由 A 的特征向量构成的标准正交基. 事实上，设               =             =               = nn n n n n n t t t t t t t t t     2 1 2 22 12 2 1 21 11 1  , , ,  是 n R 的一组标准正交基，它们都是 A 的特征向量.显然，由 n  ,  , , 1 2  到   n , , , 1 2  的过渡矩阵就是               = n n nn n n t t t t t t t t t T       1 2 21 22 2 11 12 1 T 是一个正交矩阵，而 T AT = TAT −1 就是对角形. 根据上面的讨论，正交矩阵 T 的求法可以按以下步骤进行： 1. 求出 A 的特征值.设  r , , 1  是 A 的全部不同的特征值. 2. 对于每个 i ，解齐次方程组 ( ) 0 2 1 =               − n i x x x E A   求出一个基础解系，这就是 A 的特征子空间 i V 的一组基.由这组基出发，按定理 2 的方法求出 i V 的一组标准正交基 i i ik , , 1 