证由imf(x)=-∞,知对给定的M>0,彐41>0,当0<x-a<1时 f(x)<-M,故f(a+-)<-M<0 由limf(x)=+,知对上述M>0,彐2>0,当0<b-x<2时,f(x)>M,故 f(b-=)>M>0 考虑区间[a+A,b-21,易知函数(x在此区间内连续,且(a+2)<0 f(b-2)>0,由零点定理,3∈(a+A,b-2)c(a.b),使得(2)=0 5.设f(x),g(x)都是闭区间[a,b]上的连续函数,并且 f(a)>g(a),f(b)<g(b), 证明至少存在一点ξ∈(a,b),使f(5)=g(5) 证构造函数F(x)=f(x)-g(x),易知函数F(x)在[a,b上连续,且 F(a)=f(a)-g(a)>0,F(b)=f(b)-g(b)<0,由零点定理,存在ξ∈(a,b),使得 F()=0,即f(5)=g(2) 6.假设函数∫(x)在区间/上连续,证明:如果函数没有零点,那么函数f(x) 在区间I上要么处处为正,要么处处为负 证不妨设f(x)在区间上有正有负,比如f(a)>0,f(b)<0,(a<b) (当a>b时类似可证),[a,b]c1,故∫(x)在[a,b]上连续,由零点定理,至少存在 点ξ∈[a,b]<I,使得∫()=0,这与f(x)在区间/上没有零点矛盾,故f(x)在区间 上要么处处为正,要么处处为负2 证 由 lim ( ) x a f x → + = −∞ , 知对给定的 M > 0 , 1 ∃δ > 0 , 当 1 0 < x a − < δ 时, f ( ) x M < − , 故 1 () 0 2 fa M δ + <− < . 由 lim ( ) x b f x → − = +∞ ,知对上述 M > 0 , 2 ∃δ > 0 , 当 2 0 < b x − < δ 时, ( ) f x M> , 故 2 () 0 2 fb M δ − >> . 考虑区间 1 2 [, ] 2 2 a b δ δ + − , 易知函数 f ( ) x 在此区间内连续, 且 1 ( )0 2 f a δ + < , 2 ( )0 2 f b δ − > , 由零点定理, 1 2 ( , ) (, ) 2 2 a b ab δ δ ∃∈ + − ⊂ ξ , 使得 f ( ) 0. ξ = 5. 设 f ( ) x , ( ) g x 都是闭区间[, ] a b 上的连续函数, 并且 f ( ) ( ), ( ) ( ) a ga f b gb > < , 证明至少存在一点ξ ∈(, ) a b , 使 f g () () ξ = ξ . 证 构造函数 Fx f x gx () () () = − , 易知函数 F x( ) 在 [, ] a b 上连续 , 且 Fa f a ga () () () 0 =−> , ( ) ( ) ( ) 0 Fb f b gb = − < , 由零点定理, 存在 ξ ∈(, ) a b , 使得 F() 0 ξ = , 即 f g () () ξ = ξ . 6. 假设函数 f ( ) x 在区间 I 上连续, 证明: 如果函数没有零点, 那么函数 f ( ) x 在区间 I 上要么处处为正, 要么处处为负. 证 不妨设 f ( ) x 在区间 I 上有正有负, 比如 f a() 0 > , ( ) 0 f b < , ( ) a b < , (当 a b > 时类似可证), [ , ] ab I ⊂ , 故 f ( ) x 在[, ] a b 上连续, 由零点定理, 至少存在一 点ξ ∈ ⊂ [, ] ab I , 使得 f () 0 ξ = , 这与 f ( ) x 在区间 I 上没有零点矛盾, 故 f ( ) x 在区间 I 上要么处处为正, 要么处处为负