Res(, i 2 例57求f(=)= sec二 在z=0处的留数 解因为=0为的三阶零点,且sec0=1≠0,所以0为f(-)=的三阶极点,则由 式(5.11)*有 Res(f, o)=blim= ec二 blim(sec=1g2=+sec=) 例58求f(-)= 2+) 在z=i处的留数 解因为 ()=(=-(+) z-i)2x(+ 显然,二=1为f()的二阶极点,于是由式(511 Res()=lim d =e-i e+lp (=-0)2|=im 522留数定理 定理5设D是复平面上的一个有界闭区域,若函数f(=)在D内除有限个孤立奇点z1,z2 ,z外处处解析,且它在D的边界C上也解析,则有 ∫(-)=2Res(,)+Res(f:2) =2z∑Res(-) 此处有图5.1 其中沿C的积分是关于区域D的正向取的。Re , s fi ( ) = 2 2 i e i = 2ie 1 , Re , sf i ( − ) = 2 2 i e i − = e i 2 . 例5.7 求 f ( )z = 3 sec z z 在 处的留数。 z = 0 解 因为 z = 0为 的三阶零点，且se 3 z c0 1 0 = ≠ ，所以0 为 f (z) = 3 sec z z 的三阶极点，则由 式(5.11) *有 Re ,0 s f ( ) 2 3 2 3 0 1 s lim 2! z d z z → dz z ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ec ( ) 2 3 0 1 lim sec sec 2 z z tg z z → = + 1 2 = . 例5.8求 f ( )z = ( )2 2 zz +1 e iz 在 z i = 处的留数。 解 因为 ( )zf ( )( ) 2 2 iz e zz i z i = = − + ( ) ( ) 2 2 1 izz e iz iz + ⋅ − , 显然， 为 的二阶极点，于是由式 z i = ( )zf (5.11) 有 Re , s fi ( ) = ( )( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −⋅ +− → 2 2 2 lim iz izizz e dz d iz iz ( )2 lim iz z i d e dz zz i → ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ 3 4e = − . 5.2.2留数定理 定理5.5 设 D 是复平面上的一个有界闭区域，若函数 (zf )在 内除有限个孤立奇点 , ， ， 外处处解析，且它在 的边界 上也解析，则有 D 1 z 2 z L n z D C ( ) c f z dz = ∫ [ ] ( ) ( ) ( ) n ,Re,Re2 zfszfsi ,Re zfs π 1 + 2 + ⋅⋅⋅+ ( 1 2 Re , n k k πi sfz = = ∑ ) , 此处有图 5.1 (5.12) 其中沿C 的积分是关于区域 的正向取的。 D