证以D内每一个孤立奇点二k为心,作圆yk,使以yk为边界的闭圆盘包含在D内,且yk 与y,不相交(k≠()。由定理条件f(=)在以C及y1,y2 yn为边界的闭区域G上解 析,于是由柯西定理*, ()=∑,八(=2>,J( 2∑Res(,) 例59计算下列积分 ()2-1d 解(a)f()=,有两个一阶极点1=1,=2=-1且都包含在圆上=2内,则由留 数定理*有 d2x=[Res(/,)+Res(,-) Res(f,)=lim(=-1)()=im;=5 Res(-1)=lim(2+1)f(=)=lim== 于是 2ri ch1 )f(2)=如mz在单位圆|1内有两个一阶极点=2,3==2由留数定理 tan zdz= 2mi Res,3 +rest, 而 SIn 7 sin二 Os把 sin二 sinn二 (cos2)I=i -7SINZ 故证 以 D 内每一个孤立奇点 为心，作圆 k z k γ ，使以 k γ 为边界的闭圆盘包含在 内，且 D k γ 与 l γ 不相交(k ≠ l) 。由定理条件 在以 及 ( )zf C 1 γ ， 2 γ ，L， n γ 为边界的闭区域 G 上解 析，于是由柯西定理*， ( ) c f z dz = ∫ ∑ ( ) ∫ = n k k dzzf 1 γ ( ) 1 1 2 2 k n k i fz i γ π = π = ∑ ∫ dz ( ) . 1 2 Re , n k k πi sfz = = ∑ 例5.9 计算下列积分 ( ) a ∫ = − 2|| 2 1 z z dz z ze ; (b) . ∫ =1|| tan z πzdz 解 ( ) a f ( )z = 1 2 z − ze z 有两个一阶极点 1z =1， 2 z = −1且都包含在圆| | 内，则由留 数定理*有 z = 2 ∫ = − 2|| 2 1 z z dz z ze 2 Re ,1 Re , 1 πi sf sf = ⎡ ( ) + − ( )⎤ ⎣ ⎦ , 而 ( ) fs 1,Re ( ) ( ) 1 lim 1 z z f z → = −⋅ = 1 lim 1 z z ze → z = + 2 e , ( ) fs −1,Re ( ) ( ) 1 lim 1 z z f z →− = +⋅ = 1 lim 1 z z ze →− z = − 2e 1 , 于是 ∫ = − 2|| 2 1 z z dz z ze 1 2 2 2 e i e π ⎛ ⎞ = + = chi 12 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π . ( ) b f ( )z = tan πz 在单位圆 | | z =1内有两个一阶极点 1 1 2 z = ， 2 1 2 z = − .由留数定理*， ||1 tan z π zdz = = ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −+⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 ,Re 2 1 π ,Re2 fsfsi , 而 1 Re , 2 s f ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ( )′ z z π π cos sin 2 1 z= 1 2 sin sin z z z π π π = = − 1 π = − , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 fs ,Re ( ) sin cos z z π π = ′ 2 1 z −= 1 2 sin 1 sin z z z π π π π =− = = − − , 故