张佳媛等：基于分段模糊Lyapunov函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 959 i=1,2,…,Gj,l=1,2,…f (27) 「曲 2BwX证 X B -yl 0 √2B -yl 0 0 0 -Yl <0 三X0 -yl 0 (X00)<0. X 0 0 -2X i=1,2,…,Gj=1,2,…f:1≤k<l≤f (28) 整理得 Ψ+ E X.CI >0 Bi -yl <0.(33) X 0 CX 0 -yI s=1,2,…,m:i=1,2,…G:l,k,j=1,2,…,(29) 则系统式(24)全局渐近稳定，同时满足H.性能约束 所以平西+ 名，X,<0,整理可得 L上<y和约束控制式 1,8咒1e-1w2 三B+mH0 (34) 1u.(t）1≤u,s=1,2,,m. (30) 同理，对式(28)应用Schur引理可知 其中，e,为空间R"的第s个标准向量基，a:=yw+ V(x(0),X2=P,三=(CCa+CC)n,M际= 「m+2∑中XXX2万BwX三 KX,Ψ=X元A话+AaX元+MB五+B1GM际，Tm= <0 2Bi -yl 0 XA+AaX元+X元A后+AuXe+M标Bi+B1wM+ 三仙X 0 -yl MrBig +BuM (35) 则反馈增益矩阵为K。=MX. 证明： 所以T+2∑中XXX<0,整理可得 (1)稳定性证明. 令w(t)=0,结合式(25)，考虑Lyapunov函数 2套+m++m+)<0 V(x(t)),其导数为 (36) (x())= h(( 且h(（)≥0，h.()≥0，hu()≥0，结合式(32)、 式(34)和式(36)，可得当定理中的条件满足时， 名ag0Pr0+0P0].aU (x())<0,即系统在其各个模糊子区域上渐近稳 将式(22)带入式(31)，整理可得 定.进而根据式(25)，可知(x(t))<0,所以闭环系 0)=会.r0r0+ 统式(24)全局渐近稳定. (2)H.性能约束证明. 会马，{合会A.因.0r0A.+ 在零初始条件下，令 Ji,(x()+)y.()-yw()w().(37) BK)Px()+x()P.(A.+BK)x(] 当w()≠0时，由式(22)带入式(31)并整理可得 令Hm=Ai+B1Ka,由Ih(E)I≤中可得 x≤会会与ggro(会P.+ x0）=名.groP0+ 点名会，gh:gh.日FoH+ +P,A)r]小+名会合 P.Hn)x(t)+wBiPx (t)+x(t)P B2nw (] ,gh,A.e{r@P.P+ 考虑到Ih()I≤中，同时应用引理，且令R=y, (H+)'P,+P.(H+H)x().(32) )≤名0Pr0+名名点，9 对式(27)应用Schur引理可知 h (g)h(g)x (t)(P +P,H)x(t)+张佳媛等: 基于分段模糊 Lyapunov 函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 i = 1，2，…，G; j，l = 1，2，…，f． ( 27) Γjlki 槡2B2li XjiΞT lki Xji 槡2BT 2li － γI 0 0 ΞlkiXji 0 － γI 0 Xji 0 0 － 2∑ f ρ = 1ρiXρ              i ＜ 0， i = 1，2，…，G; j = 1，2，…，f; 1≤k ＜ l≤f． ( 28) u2 i，s，max αi eT s ( Mlji + Mkji 槡 ) ( 2 Mlji + Mkji 槡 ) 2 T es X             ji ＞ 0， s = 1，2，…，m; i = 1，2，…G; l，k，j = 1，2，…，f． ( 29) 则系统式( 24) 全局渐近稳定，同时满足 H∞ 性能约束 sup ‖w‖2≠0，‖w‖2 ＜ ∞ ‖y‖2 ‖w‖2 ＜ γ 和约束控制式 | ui，s ( t) | ≤ui，s，max，s = 1，2，…，m． ( 30) 其中，es 为空间 Ｒm 的第 s 个标准向量基，αi = γwmax + Vi ( x ( 0) ) ，Xji = P － 1 ji ，Ξlki = ( CT li Cki + CT ki Cli ) 1 /2 ，Mlji = KliXji，Ψjlli = Xji AT li + Ali Xji + MT lji BT 1li + B1li Mlji，Γjlki = XjiAT li + Ali Xji + Xji AT ki + Aki Xji + MT kji BT 1li + B1liMkji + MT ljiBT 1ki + B1kiMlji ． 则反馈增益矩阵为 Kli = MljiX － 1 ji ． 证明: ( 1) 稳定性证明． 令 w( t) = 0，结 合 式 ( 25 ) ，考虑 Lyapunov 函 数 Vi ( x( t) ) ，其导数为 V · i ( x( t) ) = ∑ f ρ = 1 h · ρi ( ξ) xT ( t) Pρix( t) + ∑ f l = 1 hli ( ξ) ［x ·T ( t) Plix( t) + xT ( t) Plix ·( t) ］． ( 31) 将式( 22) 带入式( 31) ，整理可得 V · i ( x( t) ) = ∑ f ρ = 1 h · ρi ( ξ) xT ( t) Pρix( t) + ∑ f j = 1 hji ( ξ) { ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) ［xT ( t) ( Ali + B1liKki ) T Pjix( t) + xT ( t) Pji ( Ali + B1liKki ) x( t) ］} ． 令 Hlki = Ali + B1liKki，由| h · ρi ( ξ) | ≤ρi可得 V · i ( x( t) ) ≤ ∑ f j =1 ∑ f l =1 hji ( ξ) h2 li ( ξ [ ) xT ( t ( ) ∑ f ρ =1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli ) x( t ] ) + ∑ f j = 1 ∑ f k = 1 ∑ f k ＜ l hji ( ξ) hli ( ξ) hki ( ξ) { xT ( t [ ) 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ] ) x( t) } ． ( 32) 对式( 27) 应用 Schur 引理可知 Ψjlli B2li XjiCT li BT 2li － γI 0 CliXji 0 － γ        I －  Xji        0 ( 0 － ∑ f ρ = 1 ρiXρi ) － 1 ( Xji 0 0) ＜ 0． 整理得 Ψjlli + ∑ f ρ = 1 ρiXjiX－1 ρi Xji B2li XjiCT li BT 2li － γI 0 CliXji 0 － γ          I ＜ 0． ( 33) 所以 Ψjlli + ∑ f ρ = 1 ρiXjiX － 1 ρi Xji ＜ 0，整理可得 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli ＜ 0． ( 34) 同理，对式( 28) 应用 Schur 引理可知 Γjlki + 2∑ f ρ = 1 ρiXjiX－1 ρi Xji 槡2B2li XjiΞT lki 槡2BT 2li － γI 0 ΞlkiXji 0 － γ            I  ＜ 0． ( 35) 所以 Γjlki + 2 ∑ f ρ = 1 ρiXjiX － 1 ρi Xji ＜ 0，整理可得 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ) ＜ 0． ( 36) 且 hji ( ξ) ≥0，hli ( ξ) ≥0，hki ( ξ) ≥0，结合 式 ( 32 ) 、 式( 34) 和 式 ( 36 ) ，可 得 当 定 理 中 的 条 件 满 足 时， V · i ( x( t) ) ＜ 0，即系统在其各个模糊子区域上渐近稳 定． 进而根据式( 25) ，可知 V · ( x( t) ) ＜ 0，所以闭环系 统式( 24) 全局渐近稳定． ( 2) H∞ 性能约束证明． 在零初始条件下，令 J V · i ( x( t) ) + 1 γ yT i ( t) yi ( t) － γwT ( t) w( t) ． ( 37) 当 w( t) ≠0 时，由式( 22) 带入式( 31) 并整理可得 V · i ( x( t) ) = ∑ f ρ = 1 h · ρi ( ξ) xT ( t) Pρix( t) + ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hji ( ξ) hli ( ξ) hki ( ξ) ［xT ( t) ( HT lkiPji + PjiHlki ) x( t) + wT BT 2liPjix( t) + xT ( t) PjiB2liw( t) ］． 考虑到| h · ρi ( ξ) | ≤ρi，同时应用引理，且令 Ｒ = γ， V · ( x( t) ) ≤ ∑ f ρ = 1 ρixT ( t) Pρix( t) + ∑ f j = 1 ∑ f k = 1 ∑ f l = 1 hji ( ξ)· hli ( ξ) hki ( ξ [ ) xT ( t) ( HT lkiPji + PjiHlki ) x( t) + · 959 ·