·960· 工程科学学报，第37卷，第7期 Ix()PB.BP()+yw()w()= 名++ 吾名，g@(会，P.++ A+cc.<0. (43) PH+PBBP)小r0+m0w(0]+ 2会，P+H+H'p+B,H+H)+ 合名合，a:h.图{rop名.+ (ciC+cic)<0.(4) (Hw+H)P:+P.(+ 结合式(40)、式(43)和式(44)可知，J<0,即 PB.PJ*()+2ye(w(- .(x(0)+y()y,()）-ym()w(0<0. 会会与因因[r0(会P+P+ (45) 将上式两边积分，则 P,H。+P,BP)小0]+ (x(0)+I.0I<yIw(0I+(xo). 会名名4.③因{ωp会+ (46) (Ha+Hu)P:+P.(H+H)+ 因为，(x(0)=0,,(x()>0,所以y.()< 2p,BB,]xo}+yw'(0w(0.(（38） yIw()I,即 由式(23)可知， IIy ()2 (47) 00=(会：cx0）' ()2 所以系统在其各个模糊子区域上满足H。控制性能指 cr0=合合A.gh.gr'occx0= 标根据式(25，可知0L<y,所以闭环系统 "w() 名(cc,x+ 式(24)在全局上满足H.控制性能指标. (3)控制约束证明. 名名4，eAgr0cc+cc0. 根据式(46)，V（x(t)<y川w()I2+ (39) V,(x(0),即V(x()<a,即 将式(38)、式(39)带入式(37)，整理可得 ()()<1 (48) JK合合ro(会.+P+ 若P和Ku满足式(29)，则 PA。+pR+cc小r0]+ 名誉)e誉 会名名r02名P+ 整理得 (H+H)P:+P.(+) (M+M)'e.e (M+MX (49) C a,B,+（cc+cc)]小k0}(ao 将M=K。X带入式(49)，并将不等式左右两边分别 对式(33)、式(35)应用Schur补定理得 左乘右乘P,整理得 业+名+A+cc<0. (K+K)ce (K+K)P y 22,ms (41) 进一步整理可得 +2名中Xg+子8B以+ 盈249A.9d 上X三三aX,<0. (42) 2子，ms 因三三=CCu+CC,令P分别左乘右乘式(41)、 盒会立，③A.③，③B 式(42)并整理得工程科学学报，第 37 卷，第 7 期 1 γ xT ( t) PjiB2liBT 2liPjix( t) + γwT ( t) w( t ] ) = ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 hji ( ξ) h2 li ( ξ [ ) xT ( t ( ) ∑ f ρ = 1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli + 1 γ PjiB2liBT 2liPji ) x( t) + γwT ( t) w( t ] ) + ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 ∑ f k ＜ l hji ( ξ) hli ( ξ) hki ( ξ) { xT ( t [ ) 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ) + 2 γ PjiB2liBT 2liPji ] x( t) + 2γwT ( t) w( t) } = ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 hji ( ξ) h2 li ( ξ [ ) xT ( t ( ) ∑ f ρ = 1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli + 1 γ PjiB2liBT 2liPji ) x( t ] ) + ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 ∑ f k ＜ l hji ( ξ) hli ( ξ) hki ( ξ) { xT ( t [ ) 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ) + 2 γ PjiB2liBT 2liPji ] x( t) } + γwT ( t) w( t) ． ( 38) 由式( 23) 可知， yT i ( t) yi ( t) ( = ∑ f l = 1 hli ( ξ) Clix( t ) ) T ∑ f l = 1 hli ( ξ)· Clix( t) = ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) xT ( t) CT liCkix( t) = ∑ f l = 1 h2 li ( ξ) xT ( t) CT liClix( t) + ∑ f l = 1 ∑ f k ＜ l hli ( ξ) hki ( ξ) xT ( t) ［CT liCki + CT kiCli］x( t) ． ( 39) 将式( 38) 、式( 39) 带入式( 37) ，整理可得 J ＜ ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 hjih2 li [ xT ( t ( ) ∑ f ρ = 1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli + 1 γ PjiB2liBT 2liPji + 1 γ CT liCli ) x( t ] ) + ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 ∑ f k ＜ l hjihlihki { xT ( t [ ) 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ) + 2 γ PjiB2liBT 2liPji + 1 γ ( CT liCki + CT kiCli ] ) x( t) } ． ( 40) 对式( 33) 、式( 35) 应用 Schur 补定理得 Ψjlli + ∑ f ρ = 1 ρiXjiX － 1 ρi Xji + 1 γ B2liBT 2li + 1 γ XjiCT liCliXji ＜ 0， ( 41) Γjlki + 2 ∑ f ρ = 1 ρiXjiX － 1 ρi Xji + 2 γ B2liBT 2li + 1 γ XjiΞT lkiΞlkiXji ＜ 0． ( 42) 因 ΞT lkiΞlki = CT liCki + CT kiCli，令 Pji分别左乘右乘式( 41) 、 式( 42) 并整理得 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli + 1 γ PjiB2liBT 2liPji + 1 γ CT liCli ＜ 0， ( 43) 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ) + 2 γ PjiB2liBT 2liPji + 1 γ ( CT liCki + CT kiCli ) ＜ 0． ( 44) 结合式( 40) 、式( 43) 和式( 44) 可知，J ＜ 0，即 V · i ( x( t) ) + 1 γ yT i ( t) yi ( t) － γwT ( t) w( t) ＜ 0． ( 45) 将上式两边积分，则 Vi ( x( t) ) + 1 γ ‖yi ( t) ‖2 2 ＜ γ‖w( t) ‖2 2 + Vi ( x( 0) ) ． ( 46) 因为 Vi ( x( 0) ) = 0，Vi ( x( t) ) ＞ 0，所以 1 γ ‖yi ( t) ‖2 2 ＜ γ‖w( t) ‖2 2，即 ‖yi ( t) ‖2 2 ‖w( t) ‖2 2 ＜ γ2 ． ( 47) 所以系统在其各个模糊子区域上满足 H∞ 控制性能指 标． 根据式( 25) ，可知 ‖y( t) ‖2 2 ‖w( t) ‖2 2 ＜ γ2 ，所以闭环系统 式( 24) 在全局上满足 H∞ 控制性能指标． ( 3) 控制约束证明． 根 据 式 ( 46 ) ，Vi ( x ( t ) ) ＜ γ‖w( t) ‖2 2 + Vi ( x( 0) ) ，即 Vi ( x( t) ) ＜ αi，即 xT ( t) Pi αi x( t) ＜ 1． ( 48) 若 Pji和 Kki满足式( 29) ，则 u2 i，s，max αi Xji ( ＞ Mlji + Mkji 槡 ) 2 T eseT s ( Mlji + Mkji 槡 ) 2 ． 整理得 ( Mlji + Mkji ) T eseT s ( Mlji + Mkji ) 2u2 i，s，max ＜ Xji αi ． ( 49) 将 Mlji = KliXji带入式( 49) ，并将不等式左右两边分别 左乘右乘 Pji，整理得 ( Kli + Kki ) T eseT s ( Kli + Kki ) 2u2 i，s，max ＜ Pji αi ． 进一步整理可得 ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 ∑ f j = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) hji ( ξ) ( Kli + Kki ) T ese T s ( Kli + Kki ) 2u2 i，s，max ＜ ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 ∑ f j = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) hji ( ξ) Pji αi ， · 069 ·