张佳媛等：基于分段模糊Lyapunov函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 *961· h(g)h (g)(K +K)'e.e (K +K) 1i立2|≤β242.s+B2|u2|≤ P B2(4+3.033)=0.8115Nm 2uim 对于跟踪误差系统，选取专(t）=,(t)和2(t）= 因为 ω，()为模糊推理的前件，其隶属度函数选取分别如图 名：Eh:()(K+K)eeK+& 3和图4所示. 2 所以 规则 规则2 规则3 吾名，图a因ek 0.20 0.55 0.90 im )/m* 结合式(48)，可得 图3巴，隶属度函数曲线 r'(0. ：ga.因KeeK Fig.3 Membership function of s x(t）<1. 规则1/ 规则57 又因 u2(t）= 规则2 规则3 规划4 [会A:ee,x0]'名A:eKr0= r0合含ga.0. 68 0.4 0.4 0.8 (r(rad-s） 所以2(）<，即满足控制约束式(30). 图4ω，隶属度函数曲线 注：1f):=(1f)d）= Fig.4 Membership function of 12 (froroa)". 该系统可以由以下的TS模型来描述，它包含了 15条模糊规则： 3仿真结果 R:lF,(t）is F and o.(t）isF THEN e(t)=A.(t)e(t）+Bt(i）+Biw(i)） 本节利用上述提出的定理进行轮式移动机器人轨 y(t)=C(t)e(t) 迹跟踪的控制器设计，使其跟踪一个“8”字型轨迹，且 k=1,2,3i=1,2,…,5:i=1,2,…,15 满足H.约束和控制约束.机器人各个物理参数选取 为：m=80kg,I=2kg"m,1=0.075m,b=0.325m, (51) 各个数矩阵为 山1，x=5N·m,山2，ms=4N·m.此时该“8”字型轨迹由可 描述为： 00 [x.=3sin(t/4), A 00 (50) A(t)= 02x1 Ly,=3sin (t/8). B=00 03x4 E 1 0 则该轨迹的初始值为：，（0)=0.8385m·s, 01 o,(0）=0rads,6(0)=0.4636rad,u.(0）=0Nm, 0 42.(0)=0.1625N·m.相应地，可得到线速度.(）、角 0 速度ω，(）和控制输入轨迹4，(），且对于所有的1> B2= 0 0 C:=diag(1,1,1,1,1), 0,,()∈[0.261,0.839]ms,w,(t）∈[-0.729， B: 0 0.729]rad·s,u.(t)∈[-3.603,3.603]N·m, 0 -B. u2(）∈[-3.033,3.033]N·m假设|o.|<1.5,且 0 w.=0e,结合式(11)、式(12)可知， E=ū00]，X=0。-08 00.2 I1I≤B,41,ma+Blu.I+lv,0e|≤ B,(5+3.603)+0.839×1.5=1.59Nm:张佳媛等: 基于分段模糊 Lyapunov 函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) ( Kli + Kki ) T eseT s ( Kli + Kki ) 2u2 i，s，max ＜ Pi αi ． 因为 ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) ( Kli + Kki ) T eseT s ( Kli + Kki ) 2 ＞ ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) KT lieseT s Kki， 所以 ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) KT lieseT s Kki u2 i，s，max ＜ Pi αi ． 结合式( 48) ，可得 xT ( t) · ∑ f l = 1∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) KT kieseT s Kli u2 i，s，max ·x( t) ＜ 1 ． 又因 u2 i，s ( t) [ = ∑ f k = 1 hki ( ξ) eT s Kkix( t ] ) T ∑ f k = 1 hki ( ξ) eT s Kkix( t) = xT ( t) ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) KT kieseT s Klix( t) ， 所以 u2 i，s ( t) ＜ u2 i，s，max，即满足控制约束式( 30) ． 注 : ‖ f ( t ) ‖2 ( = ∫ ∞ 0 ‖ f ( t ) ‖2 d ) t 1 /2 ( = ∫ ∞ 0 f T ( t) f( t) d ) t 1 /2 ． 3 仿真结果 本节利用上述提出的定理进行轮式移动机器人轨 迹跟踪的控制器设计，使其跟踪一个“8”字型轨迹，且 满足 H∞ 约束和控制约束． 机器人各个物理参数选取 为: m = 80 kg，I = 2 kg·m，l = 0. 075 m，b = 0. 325 m， u1，max = 5 N·m，u2，max = 4 N·m． 此时该“8”字型轨迹由可 描述为: xr = 3sin( t /4) ， y{ r = 3sin( t /8) ． ( 50) 则该轨 迹 的 初 始 值 为 vr ( 0 ) = 0. 8385 m·s － 1， ωr ( 0) = 0 rad·s － 1，θr ( 0) = 0. 4636 rad，u1r ( 0) = 0 N·m， u2r( 0) = 0. 1625 N·m． 相应地，可得到线速度 vr ( t) 、角 速度 ωr ( t) 和控制输入轨迹 ur ( t) ，且对于所有的 t ＞ 0，vr ( t) ∈［0. 261，0. 839］m·s － 1，ωr ( t) ∈［－ 0. 729， 0. 729］rad·s － 1，u1r ( t ) ∈［－ 3. 603，3. 603］N·m， u2r ( t) ∈［－ 3. 033，3. 033］N·m． 假设 | ωe | ＜ 1. 5，且 ωe = ωce，结合式( 11) 、式( 12) 可知， | u 槇1 | ≤β1 u1，max + β1 | u1r | + |vrωce | ≤ β1 ( 5 + 3. 603) + 0. 839 × 1. 5 = 1. 59 N·m; | u槇2 | ≤β2 u2，max + β2 | u2r | ≤ β2 ( 4 + 3. 033) = 0. 8115 N·m． 对于跟踪误差系统，选取 ξ1 ( t) = vr ( t) 和 ξ2 ( t) = ωr ( t) 为模糊推理的前件，其隶属度函数选取分别如图 3 和图 4 所示． 图 3 vr 隶属度函数曲线 Fig． 3 Membership function of vr 图 4 ωr 隶属度函数曲线 Fig． 4 Membership function of ωr 该系统可以由以下的 T-S 模型来描述，它包含了 15 条模糊规则: Ｒi : IF vr ( t) is Fj 1 and ωr ( t) is Fj 2 THEN e ·( t) = Ai ( t) e( t) + B1iu槇( t) + B2iw( t) y( t) = Ci ( t) e( t) k = 1，2，3; j = 1，2，…，5; i = 1，2，…，15 ( 51) 各个数矩阵为 Ai ( t) = A 槇i O2 × 1 O3 × 4 槇        E  ，B1i = 0 0 0 0 0 0 1 0              0 1 ， B2i = 0 0 0 0 0 0 β3 0 0 － β              4  ，Ci = diag( 1，1，1，1，1) ， E 槇 =［1 0 0］T ，A 槇1 = 0 － 0. 8 0 ( ) 0. 8 0 0. 2 ， A 槇2 = 0 － 0. 4 0 ( ) 0. 4 0 0. 2 ，A 槇3 = 0 0 0 ( ) 0 0 0. 2 ， · 169 ·