第9章振动习题解答 60 第9章振动习题解答 第九章基本知识小结 5.阻尼振动的动力学方程为 d2x 72+2B+o02x=0 1.物体在线性回复力F=,kx,或线性回复力矩τ=，c中作用下 dt 其运动学方程分三种情况： 的运动就是简谐振动，其动力学方程为 d'x 2+0.3x=0 (x表 (1)在弱阻尼状态(B<⊙。)，振动的方向变化有周期性， 示线位移或角位移)：弹簧振子：02=km,单摆：w=g1,扭摆： x=Aecos(o'1+a),0=Vo。2-B2,对数减缩=BT. @o2-C/I. (②)在过阻尼状态(B>w。),无周期性，振子单调、缓慢地回到 2.简谐振动的运动学方程为x=Aco以wot+a):圆频率、频率、 平衡位置。 周期是由振动系统本身决定的，wo=2πT=2rv:振幅A和初相a (3)临界阻尼状态(B=w0),无周期性，振子单调、迅速地回到 由初始条件决定。 平衡位置 3在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变： d'x 对于弹簧振子，E+E。=k=m®。2A2。 6.受迫振动动力学方程 +2B +x=fo cosot: dt 4两个简谐振动的合成 其稳定解为x=Ac0s(ot+p),w是驱动力的频率，Ao和中也不 分振动特点 合振动特点 方向相同，频率相同 与分振动频率相同的简谐振动 是由初始条件决定，A。=f6/W(o,2-02)2+4B2o △a=士2nπ 合振幅最大 2Bo Aa=士(2n+1)π合振幅最小 tg0=- a,2-2 方向相同，频率不同，频 不是简谐振动，振动周期等于分振动 率成整数比 周期的最小公倍数 当0=V@。2-2B2时，发生位移共振。 方向相同，频率不同，频 出现拍现象，拍频等于分振动频率之 率较高，又非常接近 差 方向垂直，频率相同 运动轨迹一般为椭圆 △a=±2nπ简谐振动(IⅢI象限) △a=士(2n+1)T简谐振动（ⅡV象限） 方向垂直，频率不同，频 利萨如图形，花样与振幅、频率、初 率成整数比 相有关第9章振动习题解答 60 第9章振动习题解答 第九章基本知识小结 ⒈物体在线性回复力 F = - kx，或线性回复力矩τ= - cφ作用下 的运动就是简谐振动，其动力学方程为 0, 2 2 0 2 + x = dt d x  （x 表 示线位移或角位移）；弹簧振子：ω0 2=k/m，单摆：ω0 2=g/l，扭摆： ω0 2=C/I. ⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α)；圆频率、频率、 周期是由振动系统本身决定的，ω0=2π/T=2πv；振幅 A 和初相α 由初始条件决定。 ⒊在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变； 对于弹簧振子， 2 2 2 0 2 1 2 1 Ek + Ep = kA = m A 。 ⒋两个简谐振动的合成 分振动特点 合振动特点 方向相同，频率相同 与分振动频率相同的简谐振动 Δα=±2nπ 合振幅最大 Δα=±(2n+1)π 合振幅最小 方向相同，频率不同，频 率成整数比 不是简谐振动，振动周期等于分振动 周期的最小公倍数 方向相同，频率不同，频 率较高，又非常接近 出现拍现象，拍频等于分振动频率之 差 方向垂直，频率相同 运动轨迹一般为椭圆 Δα=±2nπ 简谐振动（ⅠⅢ象限） Δα=±(2n+1)π简谐振动(ⅡⅣ象限) 方向垂直，频率不同，频 率成整数比 利萨如图形，花样与振幅、频率、初 相有关 ⒌阻尼振动的动力学方程为 2 0 2 2 0 2 + + x = dt dx dt d x   。 其运动学方程分三种情况： ⑴在弱阻尼状态（β＜ω0），振动的方向变化有周期性， 2 2 0 cos(' ), '    = + = − − x Ae t t ，对数减缩 = βT’. ⑵在过阻尼状态（β＞ω0），无周期性，振子单调、缓慢地回到 平衡位置。 ⑶临界阻尼状态（β=ω0），无周期性，振子单调、迅速地回到 平衡位置 ⒍受迫振动动力学方程 x f t dt dx dt d x 2  0 cos 2 2 0 2 + + = ； 其稳定解为 cos( ) x = A0 t + ，ω是驱动力的频率，A0 和φ也不 是由初始条件决定, 2 2 2 2 2 A0 = f 0 / (0 − ) + 4  2 2 0 2     − tg = − 当 2 2  = 0 − 2 时，发生位移共振