第二章函数序列与函数级数 §2.1引言 在初等数学中我们有加法和乘法运算,在微积分中我们引进了新的运算极限lim,求导 和积分 在定义这些运算时我们都特别指出其与加法和数乘可交换,即与加法和数 乘相容例如,∫V(x)+g(x)=(x)+x)k,∫o(x=(x)h 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换顺序,例如md与m是否相等在多元 积分中我们曾讨论了积分交换顺序的问题,本章中我们将讨论极限与极限,极限与积分,极 限与微分交换顺序的问题 从实际应用的角度,我们往往需要用一个函数f(x)来表示某些变化过程或者运动状态 在时刻t的情况(假定这个变化过程对时间t是连续的).我们需要了解当t越来越接近某 关键时刻t0时,f(x)是怎样变到f。(x)的,或f(x)的许多性质能否通过f(x)得到.例 如,设f(x)都是连续的,问f(x)是否连续,即mf0(x)=lmmf1(x)是否与 mmf(x)=mf(x0)=f(x0)相等.我们这里需要讨论极限交换顺序的问题设 f(x)都可导,问f0(x)是否可导,其导数(x)是否是f(x)的极限,即 f(x)=lmf(x)与mf(x)是否相等,求导与极限是否可交换,又如 ∫(m1)是香与!(相等,时!m=lm∫,是否成立 将我们的问题归纳为数学分析的语言.设fn(x)是[a,b]上的函数,n=1,2 Gn(x)}称为一函数序列如果x∈[a,bx固定时序列U(x)}收敛,设其极限 imf(x)=f(x),则我们得到[ab]上的函数f(x),称为函数序列{n(x)}的极限函数 我们的问题是fn(x)的性质有多少在取极限后还能保留下来 连续函数的极限函数可以不连续 例4.1.1:令∫n(x)=x",x∈[0,1则 lm f, (x)=f(x) ∫o.x∈pO1)71 第二章 函数序列与函数级数 §2. 1 引言 在初等数学中我们有加法和乘法运算, 在微积分中我们引进了新的运算极限 lim, 求导 dx d 和积分 ò b a . 在定义这些运算时我们都特别指出其与加法和数乘可交换, 即与加法和数 乘相容. 例如, ( ) ò ò ò + = + b a b a b a f (x) g(x) dx f (x)dx g (x)dx , ò ò = b a b a cf (x)dx c f (x)dx . 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换顺序, 例如 dx d lim 与 lim dx d 是否相等. 在多元 积分中我们曾讨论了积分交换顺序的问题, 本章中我们将讨论极限与极限, 极限与积分, 极 限与微分交换顺序的问题. 从实际应用的角度, 我们往往需要用一个函数 f (x) t 来表示某些变化过程或者运动状态 在时刻t 的情况（假定这个变化过程对时间t 是连续的）. 我们需要了解当t 越来越接近某一 关键时刻 0 t 时, f (x) t 是怎样变到 ( ) 0 f x t 的, 或 ( ) 0 f x t 的许多性质能否通过 f (x) t 得到. 例 如, 设 f (x) t 都是连续的, 问 ( ) 0 f x t 是否连续, 即 lim ( ) lim lim ( ) 0 0 0 0 f x f x t x x t t t x®x ® ® = 是否与 lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f x f x f x t t t t t t t x x = = ® ® ® 相等. 我们这里需要讨论极限交换顺序的问题. 设 f (x) t 都可导 , 问 ( ) 0 f x t 是否可导 , 其导数 ( ) 0 f x t ¢ 是否是 f (x) t ¢ 的极限 , 即 ÷ ø ö ç è æ ¢ = ¢ ® ( ) lim ( ) 0 0 f x dx d f x dx d t t t t 与 lim ( ) 0 f x dx d t t®t 是否相等, 求导与极限是否可交换 . 又如, ò ò ÷ ø ö ç è æ = ® b a t t t b a f t (x)dx lim f (x) dx 0 0 是否与 ® ò b a t t t lim f (x)dx 0 相等, 即ò ò = b a b a lim lim 是否成立. 将我们的问题归纳为数学分析的语言. 设 f (x) n 是 [a, b] 上的函数, n = 1,2,L , {f n (x)} 称为一函数序列 . 如 果 x Î[a,b], x 固定时序列 {f n (x)} 收 敛 , 设其极限 lim f (x) f (x) n n = ®+¥ , 则我们得到[a, b]上的函数 f (x) , 称为函数序列 {f n (x)}的极限函数. 我们的问题是 f (x) n 的性质有多少在取极限后还能保留下来. 连续函数的极限函数可以不连续. 例 4. 1. 1：令 f (x) = x , x Î[0,1] n n , 则 î í ì = Î = = ®+¥ 1, 1, 0, [0,1), lim ( ) ( ) x x f x f x n n