f∫(x)在x=1时不连续 上例中f(x)=mx",因此lmfn(x)=n,因而n→>+时fn(x)的速度趋于无穷.速度 太大,产生了断裂 可导函数的极限函数可以不可导 例41.2:设x∈[-1.令fn(x)=e-2,则 f O fn(x)都可导,而其极限函数在x=0处不连续,因而不可导 例4.1.3:令∫n(x)= sin nx x∈一 则 22 m f, (x)=f(x=0 f(x)是可导的,但lmf(x)=+0≠∫(x)=0.即极限函数可导时,也不一定是函数序 列导函数的极限 连续的过程取极限后可能产生间断,可导的性质在取极限后不能保留,这样的现象在实 际生活中经常可以看到.例如,海平面的形状对时间t总是连续的,无风时海平面很光滑 风越来越大时海平面越来越粗糙,产生了浪珠,脱离海平面时形成间断,产生了浪尖是不可 导的 可积性和积分对极限过程一般也是不能交换的 例41.4:设x∈[0,],令 P f,(x) 0其余的x, fn(x)仅有有限个间断点,因而 Riemann可积的,但 ∫1x为有理数 l,()()=10.x为无理数 f(x)不是 Riemann可积的 例4.1.:设x∈[D,],定义fn(x)=2(n+1)x(1-x2)”,易证lmfn(x)=f(x)=072 f (x) 在 x =1时不连续. 上例中 1 ( ) - ¢ = n n f x nx , 因此 f x n n n ¢ = ®+¥ lim ( ) , 因而n ® +¥ 时 f (x) n 的速度趋于无穷. 速度 太大, 产生了断裂. 可导函数的极限函数可以不可导. 例 4. 1. 2：设x Î[-1,1], 令 2 2 ( ) n x n f x e - = , 则 î í ì = ¹ = ®+¥ 1, 0, 0, 0, lim ( ) x x f x n n f (x) n 都可导, 而其极限函数在x = 0处不连续, 因而不可导. 例 4. 1. 3：令 ÷ ø ö ç è æ = Î - 2 , 2 , sin ( ) p p x n nx f n x , 则 lim ( ) = ( ) º 0 ®+¥ f x f x n n . f (x) 是可导的, 但 lim ¢( ) = +¥ ¹ ¢( ) = 0 ®+¥ f x f x n n . 即极限函数可导时, 也不一定是函数序 列导函数的极限. 连续的过程取极限后可能产生间断, 可导的性质在取极限后不能保留, 这样的现象在实 际生活中经常可以看到. 例如, 海平面的形状对时间 t 总是连续的, 无风时海平面很光滑, 风越来越大时海平面越来越粗糙, 产生了浪珠, 脱离海平面时形成间断, 产生了浪尖是不可 导的. 可积性和积分对极限过程一般也是不能交换的. 例 4. 1. 4：设x Î[0,1] , 令 ï î ï í ì = £ = 其余的x， q n q p x f x n 0 1, , , ( ) f (x) n 仅有有限个间断点, 因而 Riemann 可积的, 但 î í ì = = ®+¥ 0, , 1, , lim ( ) ( ) 为无理数 为有理数 x x f x f x n n f (x) 不是 Riemann 可积的. 例 4. 1. 5：设x Î[0,1] , 定义 n n f (x) 2(n 1)x(1 x ) 2 = + - , 易证 lim ( ) = ( ) º 0 ®+¥ f x f x n n , 而