(x)dx=1≠J/(x)dk=0 如果将序列极限转化为无穷级数,则我们可以从另一角度来考察上面的问题 设{,(x)是[ab]上一个函数序列,定义其函数级数为∑un(x)设对任意x∈[a,b1x固 定后级数∑un(x)收敛,则我们得到[ab]上的函数(x)=∑u(x) 对于有限加法,我们知道如果a1(x)…un(x)连续,则u1(x)+…+ln(x)连续 如果a1(x),…,ln(x)可导,则u1(x)+…+un(x)可导,并且 (u4(x)+…+un(x)=l4(x)+…+ln(x) 如果a1(x),…,ln(x)可积,则a1(x)+…+un(x)可积,并且 (x)]tx=[1(x) (x)dx 问题是对于级数,有限和的这些性质是否还成立 将什么关于函数序列的极限表示为函数级数,则我们看到,有限加法的性质对于无穷级 数∑n(x)一般不再成立,即函数级数一般不能保持函数的连续性函数的微分和函数的积 分 但是不论在数学的实际应用还是数学的理论研究中,极限与极限,极限与微分和极限与 积分交换顺序的问题都是经常会碰到的十分重要的关系.因此我们需要对函数序列和函数 级数的极限过程加上适当的条件,使我们所需要的交换关系都能够成立,使无穷级数保持有 限加法的性质.在数学分析中我们对函数序列和函数级数加的条件是一致收敛性 §4.2一致收敛性及其判别法 设f(x)是区间(a,b)上的函数列,在(a1,b)上收敛于∫(x),设fn(x)在x0∈(a,b)处 连续,我们需要给出适当的条件,使∫(x)在x连续,即x→x时,|f(x)-f(x→>0 但 If(x)-f(xo<If(x)-fn(x)+fm (x)-f, (xo+Im (xo)-f(xo) 由∫(x)在x连续,且 Iim,(x)=f(x0),因此,只要x充分接近x0,n充分大,总可 以使fn(x)-fn(x0)和n(x0)-f(x)任意小、要使f(x)在x连续,需要n充分大时73 ( ) 1 ( ) 0 1 0 1 0 = ¹ = ò ò f x dx f x dx n . 如果将序列极限转化为无穷级数, 则我们可以从另一角度来考察上面的问题. 设{un (x)}是[a, b]上一个函数序列, 定义其函数级数为 å +¥ =1 ( ) n un x . 设对任意x Î[a,b], x 固 定后级数å +¥ =1 ( ) n un x 收敛, 则我们得到[a, b]上的函数 å +¥ = = 1 ( ) ( ) n u x un x . 对于有限加法, 我们知道如果 ( ), , ( ) 1 u x u x L n 连续, 则 ( ) ( ) 1 u x u x +L+ n 连续. 如果 ( ), , ( ) 1 u x u x L n 可导, 则 ( ) ( ) 1 u x u x +L+ n 可导, 并且 ( ( ) ( )) ( ) ( ) 1 1 u x u x u x u x n n = ¢ + + ¢ ¢ +L+ L . 如果 ( ), , ( ) 1 u x u x L n 可积, 则 ( ) ( ) 1 u x u x +L+ n 可积, 并且 [ ] ò ò ò + + = + + b a n b a b a n u (x) u (x) dx u (x)dx u (x)dx 1 L 1 L . 问题是对于级数, 有限和的这些性质是否还成立. 将什么关于函数序列的极限表示为函数级数, 则我们看到, 有限加法的性质对于无穷级 数å +¥ =1 ( ) n un x 一般不再成立, 即函数级数一般不能保持函数的连续性、函数的微分和函数的积 分. 但是不论在数学的实际应用还是数学的理论研究中, 极限与极限, 极限与微分和极限与 积分交换顺序的问题都是经常会碰到的十分重要的关系. 因此我们需要对函数序列和函数 级数的极限过程加上适当的条件, 使我们所需要的交换关系都能够成立, 使无穷级数保持有 限加法的性质. 在数学分析中我们对函数序列和函数级数加的条件是一致收敛性. §4. 2 一致收敛性及其判别法 设 f (x) n 是区间 (a, b)上的函数列, 在(a, b) 上收敛于 f (x) , 设 f (x) n 在 ( , ) x0 Î a b 处 连续, 我们需要给出适当的条件, 使 f (x) 在 0 x 连续, 即 0 x ® x 时, f (x) - f (x0 ) ® 0 . 但 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x f x f x - £ - n + n - n + n - . 由 f (x) n 在 0 x 连续, 且 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x n n = ®+¥ , 因此, 只要 x 充分接近 0 x , n 充分大, 总可 以使 ( ) ( ) 0 f x f x n - n 和 ( ) ( ) 0 0 f x f x n - 任意小. 要使 f (x) 在 0 x 连续, 需要n 充分大时