(x)-fn(x)可以任意小 对于任意E>0,由imfn(x)=f(x)知,对每一个x∈(a,b),总存在Nx,当 x>N时有f(x)-f(x)<E.但x→x时,必须考虑无穷多个x,因而其所对应的N 不一定有上界如果N有上界,即对E>0,存在N,使n>N后,n(x)-f(x)<E对 所有x∈(a,b)都成立.则取定一个n>N,由∫n(x)在x处连续,知存在δ>0,使 x-x<6时(x)-f(x<E.因此p-x<6时 f(x)-(x(x)-f(x)+(x)-fn(x)+n(x0)-f(x) <E+E+E=3 得f(x)在x0处连续.由此我们给出下面定义 定义4.2.1:称函数序列{n(x)}在集合D上一致收敛于f(x),如果对vE>0,N, 当n>N时,n(x)-f(x<E对所有x∈D成立记为fn(x)3(x) 致收敛也称为均匀收敛,其表示n→+∞时fn(x)趋于f(x)的过程基本是均匀的 可以控制的 例4.2.1:设x∈[0,],定义∫n(x) 则VE>0,取N使一<E,则n>N后, Jn(x)≤<E.因此在01上,fn(x)30 例42.2设x∈[0,令fn(x)=x”,证明{n(x)}不一致收敛 证明:由 lmf(x)=f(y=J0.x∈0) 取E 则对任意n,由lmfn(x)=1,知总存在x∈[O,1),使fn(x)>.因此fn(x) 不一致收敛 与函数序列相同,我们定义函数级数∑u4(x)的一致收敛性为 定义422:称函数级数∑4(x)在集合D上一致收敛于(x),如果vE>0,3N,使74 f (x) f (x) - n 可以任意小. 对于任意 e > 0 , 由 lim f (x) f (x) n n = ®+¥ 知, 对每一个 x Î (a,b) , 总存在 Nx , 当 Nx x > 时有 f (x) - f (x) < e n . 但 0 x ® x 时, 必须考虑无穷多个 x , 因而其所对应的 Nx 不一定有上界. 如果 Nx 有上界, 即对 e > 0, 存在 N , 使n > N 后, f (x) - f (x) < e n 对 所有 x Î (a,b) 都成立. 则取定一个 n > N , 由 f (x) n 在 0 x 处连续, 知存在 d > 0 , 使 x - x0 < d 时 ( ) - ( ) < e 0 f x f x n n . 因此, x - x0 < d 时 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 < e + e + e = e f x - f x £ f x - f x + f x - f x + f x - f x n n n n 得 f (x) 在 0 x 处连续. 由此我们给出下面定义 定义 4. 2. 1：称函数序列{f n (x)}在集合 D 上一致收敛于 f (x) , 如果对"e > 0, $N , 当n > N 时, f (x) - f (x) < e n 对所有 x Î D成立. 记为 f (x) f (x) n ®® . 一致收敛也称为均匀收敛, 其表示 n ® +¥ 时 f (x) n 趋于 f (x) 的过程基本是均匀的, 可以控制的. 例 4. 2. 1：设x Î[0,1] , 定义 n x f x n n ( ) = . 则"e > 0, 取N 使 < e N 1 , 则n > N 后, £ < e n f x n 1 ( ) . 因此在[0,1]上, f n (x) ®®0 . 例 4. 2. 2：设x Î[0,1] , 令 n n f (x) = x , 证明{f n (x)}不一致收敛. 证明：由 î í ì = Î = = ®+¥ 1, 1, 0, [0,1), lim ( ) ( ) x x f x f x n n 取 2 1 e0 = , 则对任意n , 由 lim ( ) 1 1 0 = ® - f x n x , 知总存在x Î[0,1) , 使 2 1 f n (x) > . 因此 f (x) n 不一致收敛. 与函数序列相同, 我们定义函数级数å +¥ =1 ( ) k uk x 的一致收敛性为 定义 4. 2. 2：称函数级数å +¥ =1 ( ) k uk x 在集合 D 上一致收敛于u(x) , 如果"e > 0, $N , 使