得n>N后,x∈D,恒有∑u(x)-x<E.记为∑l4(x)→(x) 例42.3:证明当0<E<1时,函数级数∑x*在[01-E]上一致收敛,但在[)上不 致收敛 证明:∑x在[01)上收敛于,当x∈[O-l]时 xk (1-E) 但(1-E)→0,因而∑x2在1-6]上一致收敛 但在[0)上,x 而x→>1时x+1→1,因此对任意n,总可以找 到x∈D01),使∑x x不一致收敛 致收敛的判别法 对于函数序列和函数级数通常我们不能通过其与极限函数的比较来判断是否一致收敛, 我们必须通过序列和级数自身来判断其是否有一致收敛性。因此我们需要建立一些判别的 方法,其最基本的 Cauchy准则 Cauchy准则:函数序列{n(x)}(函数级数∑u(x)在集合D上一致收敛的充分必 要条件是VE>0,N,当n>N,p=012…时,|/(x)-fm,(x)<E ∑(x)-∑(x)=∑41(x)<6)对所有x∈D成立 证明(以函数级数为例):设∑u4(x)书f(x),则VE>0,N,只要n>N,x∈D 就有∑u4(x)-f(x)<,因此75 得n > N 后, "x Î D , 恒有 å - < e = ( ) ( ) 1 u x u x n k k . 记为 ( ) ( ) 1 u x u x k å k ®® +¥ = . 例 4. 2. 3：证明当0 < e <1时, 函数级数å +¥ k=0 k x 在[0,1- e ] 上一致收敛, 但在[0,1) 上不 一致收敛. 证明：å +¥ k=0 k x 在[0,1) 上收敛于 1- x 1 . 当x Î[0,1- e ]时, 1 1 0 1 (1 ) 1 1 1 + +¥ + = = + £ - - = = - å - å n n k n k n k k x x x x x e . 但(1 ) 0 - e n+1 ® , 因而å +¥ k=0 k x 在[0,1- e ] 上一致收敛. 但在[0,1) 上, 1 0 1 1 + = > - å - n n k k x x x . 而 x ®1时 1 x n+1 ® , 因此对任意 n , 总可以找 到 x Î[0,1) , 使 2 1 1 1 0 > - å - = x x n k k . å +¥ k=0 k x 不一致收敛. 一致收敛的判别法 对于函数序列和函数级数通常我们不能通过其与极限函数的比较来判断是否一致收敛, 我们必须通过序列和级数自身来判断其是否有一致收敛性. 因此我们需要建立一些判别的 方法, 其最基本的 Cauchy 准则. Cauchy 准则：函数序列{f n (x)}（函数级数å +¥ =1 ( ) k uk x ）在集合 D 上一致收敛的充分必 要条件是 "e > 0, $N , 当 n > N, p = 0,1,2L 时 , - < e + f (x) f (x) n n p （ å -å = å < e + = = + + = n p k n k n k k n p k k u x u x u x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ）对所有 x Î D成立. 证明（以函数级数为例）：设 ( ) ( ) 1 u x f x k å k ®® +¥ = , 则"e > 0, $N , 只要n > N , x Î D, 就有 2 ( ) ( ) 1 e å - < = u x f x n k k . 因此, e e e å -å £ å - + -å < + = = + = = + + = 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 n k k n p k n k n k k n p k k u x u x u x f x f x u x