l4(x)满足 Cauchy准则 反之,设∑u4(x)满足Cahy准则,则当x∈D,x固定时,数值级数∑4(x)满足 Cauchy准则,因而收敛.设收敛于∫(x).VE>0,彐N,n>N后,Ⅵx∈D,恒有 ∑u()-∑(x<5令P→+0,得(x)-5(x)s5<c对所有x∈D成立 因而∑4(x)→f(x) 推论423:如果在D上,∑u4(x)f(x),则2(x)→0 例.2.4证明对任意R>0,∑在-RR]上一致收敛,但其在(-+)上不 致收敛 R 证明:ESA2 收敛,因而满足 Cauchy准则 kl 在[R 上满足 Cauchy准则,所以一致收敛而在(-∞+∞)上由{一}不是一致趋于零的,因而 在(-∞,+∞)上不一致收敛 对于函数级数,利用 Cauchy准则,我们可以建立进一步的判别法 控制收敛判别法( Weierstrass判别法):如果存在收敛的数字级数∑an及N,使 n>N,x∈D,恒有n(x)≤an则∑u1(x)和∑k(x)在D上都一致收敛 满足定理条件的级数∑an称为∑un(x)的控制级数而∑kn(x)致收敛时(显然这时 ∑un(x)也一致收敛),称∑un(x)绝对一致收敛76 å +¥ =1 ( ) k uk x 满足 Cauchy 准则. 反之, 设å +¥ =1 ( ) k uk x 满足 Cauchy 准则, 则当 x Î D, x固定时, 数值级数 å +¥ =1 ( ) k uk x 满足 Cauchy 准则, 因而收敛. 设收敛于 f (x) . "e > 0, $N , n > N 后, "x Î D , 恒有 2 ( ) ( ) 1 1 e å -å < = + = n k k n p k k u x u x . 令 p ® +¥ , 得 e e -å £ < = 2 ( ) ( ) 1 n k k f x u x 对所有 x Î D成立. 因而 ( ) ( ) 1 u x f x k å k ®® +¥ = . 推论 4. 2. 3：如果在D 上, ( ) ( ) 1 u x f x k å k ®® +¥ = , 则uk (x) ®®0. 例 4. 2. 4：证明对任意R > 0, å +¥ =0 ! k k k x 在[-R,R]上一致收敛, 但其在(-¥,+¥) 上不一 致收敛. 证明： å å + = + = £ n p k n n p k k n k k R k x ! ! . 而å +¥ k=n k k R ! 收敛, 因而满足 Cauchy 准则, 得å +¥ =0 ! k k k x 在[-R,R] 上满足 Cauchy 准则, 所以一致收敛. 而在(-¥,+¥) 上由 þ ý ü î í ì n! x n 不是一致趋于零的, 因而 å +¥ =0 ! k k k x 在(-¥,+¥) 上不一致收敛. 对于函数级数, 利用 Cauchy 准则, 我们可以建立进一步的判别法. 控制收敛判别法（Weierstrass 判别法）：如果存在收敛的数字级数å +¥ n=1 an 及 N , 使 n > N , x Î D, 恒有 n an u (x) £ . 则å +¥ =1 ( ) n un x 和å +¥ =1 ( ) n un x 在 D 上都一致收敛. 满足定理条件的级数 å +¥ n=1 an 称为å +¥ =1 ( ) n un x 的控制级数. 而å +¥ =1 ( ) n un x 一致收敛时（显然这时 å +¥ =1 ( ) n un x 也一致收敛）, 称å +¥ =1 ( ) n un x 绝对一致收敛