证明:不妨设对所有k,k2(x)≤a4∑a收敛,则其满足 Cauchy准则,即 VE>0.彐N 只要n>N,p=1,2 就有 a2|<E ∑4(x)∑(x=∑a1<6,因而∑n(x)和∑(x在D上满足 Cauchy准则 因而都一致收敛 例42.5证明∑出1在(-m2+∞)上一致收敛 证明:n2),而∑与收效因m在(+2)上绝对一致收敛 sin nx 控制收敛判别法只能用在绝对一致收敛的级数上,对条件收敛的函数级数,其显然不适 合.与条件收敛级数相同,我们有 Dirichlet判别法和Abel判别法 Dirichlet判别法:考虑形式为∑an(x地n(x)的函数级数如果在集合D上{an(x)}单 调且一致趋于零,而M,使得vm及x∈D,恒有∑b()M(这时称{∑b(x}在 k=0 D上一致有界).则∑an(x)bn(x)在D上一致收敛 证明:在讨论积分第二中值定理时,我们曾给出了Abe变换和Abel不等式:在有限和 ∑a4B中令B=0,Bn=∑Bk,令a0=0,则 ∑aB=∑a(B4-B-)=∑aB-∑a4B-1= )B, +a, B 如果∝1单调,而B4≤M,k=0,1…,n,则有Abe不等式 ∑a.A1s∑1.-a-+11=∑-anM+a 由∑b(x)≤M,得∑b(x)=∑b(x)-∑b(x)≤2M.因此利用Ab不等式得77 证明 ：不妨设对所有 k , k ak u (x) £ . å +¥ k=1 ak 收敛, 则其满足 Cauchy 准则, 即 "e > 0, $N , 只 要 n > N, p = 1,2L , 就 有 å < e + = n p k n ak . 但 å £ å £ å < e + = + = + = n p k n n p k n k k n p k n uk (x) u (x) a , 因而å +¥ =1 ( ) k uk x 和å +¥ =1 ( ) k uk x 在 D 上满足 Cauchy 准则, 因而都一致收敛. 例 4. 2. 5：证明å +¥ =1 2 sin n n nx 在(-¥,+¥) 上一致收敛. 证明：由 2 2 sin 1 n n nx £ , 而å +¥ =1 2 1 n n 收敛, 因而å +¥ =1 2 sin n n nx 在(-¥,+¥) 上绝对一致收敛. 控制收敛判别法只能用在绝对一致收敛的级数上, 对条件收敛的函数级数, 其显然不适 合. 与条件收敛级数相同, 我们有 Dirichlet 判别法和 Abel 判别法. Dirichlet 判别法：考虑形式为 ( ) ( ) 1 a x bn x n å n +¥ = 的函数级数. 如果在集合D 上{a (x)} n 单 调且一致趋于零, 而$M , 使得"n 及 x Î D, 恒有 b x M n k å k £ =0 ( ) （这时称 þ ý ü î í ì å= n k k b x 0 ( ) 在 D 上一致有界）. 则 ( ) ( ) 1 a x bn x n å n +¥ = 在 D 上一致收敛. 证明：在讨论积分第二中值定理时, 我们曾给出了 Abel 变换和 Abel不等式：在有限和 å= n k k k 1 a b 中令 å= = = m k B Bm k 1 0 0, b , 令a0 = 0, 则 ( ) ( ) n n n k k k k n k k k n k k k n k k k k n k åak bk =åa B - B = åa B -åa B = å a -a B +a B - = + - = - = = - = 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 . 如果ai 单调, 而Bk £ M , k = 0,1,L,n , 则有 Abel 不等式 ( 2 ) . 1 1 0 1 1 0 1 1 M B B M M n n n k n n k k n k k k k n k k k £ + × å £ å - + £å - × + × - = + - = + = a a a b a a a a a a 由 b x M n k å k £ =0 ( ) , 得 b x b x b x M n k k n p k k n p k n k ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 å = å -å £ - = + = + = . 因此利用 Abel 不等式得