a()1(O-2M+n(x+40 但a(x)→0,因而vE>0,N,n>N后,Wx∈D,恒有(x)≤,因而 n>N,p=12…时,Wx∈D,恒有 ∑a4(x(x)≤x,2M+,4M=E 6M ∑ak(x2(x)满足一致收敛的 Cauchy准则,因而一致收敛 Abe判别法:如果函数序列{an(x)在D上单调且一致有界,而∑b(x)在D上一致 收敛,则∑a4(x)2(x)在D上一致收敛 Abel判别法的证明与 Dirichlet判别法基本相同,这里留给读者自证 例4.26:证明 ∑ (x4在01上一致收敛 k 证明:令a4(x)=x2,则a(x)在[0上单调且a(x)≤1,因而一致有界.令 k,则∑(x)一致收敛由A判别法得(过在上一致收敛 2(x)=(1) k 由∑=+不难得到∑x在(D上不是一致收敛的B(x在(0上 k 不是绝对一致收敛 例427∑和∑在(-m+)上都是一致收敛但非绝对收敛 §4.3一致收敛性的极限函数的性质 定理4.3.1:连续函数一致收敛的极限函数是连续的 我们在上一节一致收敛的定义中已经给出了这个定理的证明.下面我们用极限交换顺 序的语言给出这个定理更加一般的形式 定理43.2:设函数序列(x)}在集合D上一致收敛于f(x),设x0是D的一个聚点78 a x bk x an x M an p x M n p k k ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 4 1 £ × + × + + = å . 但 an (x) ®®0 , 因 而 "e > 0, $N , n > N 后 , "x Î D , 恒 有 M a x n 6 ( ) e £ . 因 而 n > N, p = 1,2L时, "x Î D , 恒有 e e e å £ × + × = + = M M M M a x b x k n p k k 4 6 2 6 ( ) ( ) 1 . ( ) ( ) 1 a x bk x k å k +¥ = 满足一致收敛的 Cauchy 准则, 因而一致收敛. Abel 判别法：如果函数序列{a (x)} n 在 D 上单调且一致有界, 而å +¥ =1 ( ) k bk x 在 D 上一致 收敛, 则 ( ) ( ) 1 a x bk x k å k +¥ = 在 D 上一致收敛. Abel判别法的证明与 Dirichlet 判别法基本相同, 这里留给读者自证. 例 4. 2.6：证明 ( ) å +¥ = - 1 1 k k k x k 在[0,1]上一致收敛. 证明 ：令 k k a (x) = x , 则 a (x) k 在 [0,1] 上单调且 ak (x) £ 1 , 因而一致有界. 令 k b x k k ( 1) ( ) - = , 则å +¥ =1 ( ) k bk x 一致收敛. 由Abel判别法, 得 ( ) å +¥ = - 1 1 k k k x k 在[0,1]上一致收敛. 由å +¥ = = +¥ 1 1 k k 不难得到 å +¥ =1 1 k k x k 在(0,1) 上不是一致收敛的, 即 ( ) å +¥ = - 1 1 k k k x k 在(0,1) 上 不是绝对一致收敛. 例 4. 2. 7：å +¥ =1 sin n n nx 和å +¥ =1 cos n n nx 在(-¥,+¥) 上都是一致收敛但非绝对收敛. §4. 3 一致收敛性的极限函数的性质 定理 4. 3. 1：连续函数一致收敛的极限函数是连续的. 我们在上一节一致收敛的定义中已经给出了这个定理的证明. 下面我们用极限交换顺 序的语言给出这个定理更加一般的形式. 定理 4. 3. 2：设函数序列{f n (x)}在集合 D 上一致收敛于 f (x) , 设 0 x 是 D 的一个聚点