且Inf(x)=An存在.则mAn和lmnf(x)都存在且相等,即 lm lim f, (x)=lim Im ff (x) x→10n→+ 证明:fn(x)3f(x),因而vE>0,N,使n>N,m>N后,x∈D,恒有 J(x)-Jm(x<5令x→x,得4-4川≤3<E,因而序列{4}满足cay准则 得其收敛.设A= lim a,则 If(x)-AosIf(x)-f,(x+f,(x)-An+Am-Aol 取定一个n>N,由mfn(x)=An,得彐δ>0,只要x∈U0(xo,0)∩D,就有 U,(x)-An< E 因而x∈U0(x0,6)∩D时|(x)-4 E⊥E⊥E lm f(x)=Ao 对于积分而言,一致收敛也是积分与极限可以交换顺序的一个充分条件.设D=[a,b 定理4.3.3:D上一致收敛的 Riemann可积函数列(x)的极限函数f(x)也是 Rmm间的并/(=,lm(=hm 证明:在讨论 Riemann积分时,我们证明下面的可积性定理:f(x)在[a,b]上 Riemann 可积的充分必要条件是m∑o,(0Ax1=0,其中a=x<x<…<xn=b是[a,b]的 任意分割,A=max{x,=x1-x},o,()=M,-m1,M,m1分别为∫(x)在 (x-1,x]上的上下确界 由fn(x)3f(x),知VE>0,N,只要n>N,则J(x)-f(x<E对所有 x∈[a,b成立.取n>N,并将其固定由f(x)在D上 Riemann可积,因而对E,存在 使对[a,b的任意分割a=x0<x1<…<xn=b 元=maxx=x-x-}<6,就有∑O,(n)Ax,<E 但wx∈[a,b],f(x)-E≤f(x)≤J(x)+E,因此O,()≤o,(n)+2E,得79 且 n n x x f x = A ® lim ( ) 0 存在. 则 n n A ®+¥ lim 和 lim ( ) 0 f x x®x 都存在且相等, 即 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n n x x n x®x n®+¥ ®+¥ ® = . 证 明 ： f (x) f (x) n ®® , 因 而 "e > 0, $N , 使 n > N, m > N 后 , "x Î D , 恒 有 2 ( ) ( ) e f n x - f m x < . 令 0 x ® x , 得 e e - £ < 3 An Am . 因而序列{An }满足 Cauchy 准则, 得其收敛. 设 n n A A ®+¥ 0 = lim , 则 0 0 f (x) - A £ f (x) - f n (x) + f n (x) - An + An - A . 取定一个 n > N , 由 n n x x f x = A ® lim ( ) 0 , 得 $d > 0 , 只 要 x ÎU0 (x0 ,d ) I D , 就 有 3 ( ) e f n x - An < . 因 而 x ÎU0 (x0 ,d ) I D 时 e e e e - < + + = 3 3 3 ( ) A0 f x , 得 0 lim ( ) 0 f x A x x = ® . 对于积分而言, 一致收敛也是积分与极限可以交换顺序的一个充分条件. 设D = [a, b]. 定理 4. 3. 3： D 上一致收敛的 Riemann 可积函数列 {f n (x)}的极限函数 f (x) 也是 Riemann 可积的, 并且 ( ) ò ò ò ®+¥ ®+¥ = = b a n n b a n n b a f (x)dx lim f (x) dx lim f (x)dx . 证明：在讨论 Riemann 积分时, 我们证明下面的可积性定理：f (x) 在[a, b]上 Riemann 可积的充分必要条件是lim ( ) 0 1 0å D = = ® n i i xi w f l , 其中a = x0 < x1 < L < xn = b 是[a, b] 的 任意分割 , l = max{Dxi = xi - xi -1 } , i M i mi w ( f ) = - , Mi mi , 分别为 f (x) 在 ( , ] i 1 i x x - 上的上下确界. 由 f (x) f (x) n ®® , 知 "e > 0, $N , 只 要 n > N , 则 f (x) - f (x) < e n 对所有 x Î[a, b] 成立. 取n > N , 并将其固定. 由 f (x) n 在 D 上 Riemann 可积, 因而对 e , 存在 d > 0 , 使 对 [a, b] 的任意分割 a = x0 < x1 < L < xn = b , 只 要 l = {D = - }< d max i i i -1 x x x , 就有åw D < e = n i i n xi f 1 ( ) . 但 "x Î[a,b] , f (x) - e £ f (x) £ f (x) + e n n , 因 此 w ( ) £ w ( ) + 2e i i n f f , 得