∑0,OAx≤∑o,()Ax+2(b-a).但E是任意的,而∑a,O)Ax≥0,因此必 须Im∑o,(Ax,=0,f(x)在[ab]上Rman可积而 0h-:((-,(-(到b=a)0 Rf(x)dx= lim /,(x)dx 例43:1:设x∈01],令fn(x)=2n2xem,x∈[O.l,容易看出 lmf(x)=f(x)=0.而对于任意n,f(x)=2n2e(-2nx2)f(x)=0,则 而x<一时∫(x)>0 √2n 时f'(x)<0,因而x 是f(x)在 0)中的极大值点但(n=2m2→+0,因此()在上并不是一致收 敛与零的但(3=1(m(o 上例说明,一致收敛只是连续函数的极限函数为连续的充分条件,并不是必要的,其同 时也说明如果没有一致收敛性,积分与极限不一定能交换顺序 0,x≠1, 例4.3.2:设x∈[01],令fn(x)=x”,则imfn(x)=f(x)= fn(x)不 是一致收敛的.但f(x)在[a,b上 Riemann可积,并且 f(x) f (x)dx= lim 此例说明一致收敛仅是极限函数可积及积分与极限可交换顺序的一个充分条件 以后将在更一般的条件下建立积分与极限的交换关系.但一致收敛作为连续函数的极 限函数是连续的充分条件,在很多情况下也是必要的 定理43.4设fn(x)∈C[a,b],并且{n(x)对n单调有界则f(x)=imfn(x)在 [ab]上连续的充分必要条件是{n(x)}在[a,b上一致收敛于f(x) 证明:设{n(x)单调上升,f(x)∈CIab]但{n(x)}不一致收敛.由定义知 360>0,使WN,彐n>N,xn∈ab],使得(xn)-f(x)≥E0由此得一单调上升序80 ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 f x f x b a n i i n i n i å i D i £ å D + - = = w w e . 但e 是任意的, 而 ( ) 0 1 å D ³ = n i i xi w f , 因此必 须lim ( ) 0 1 0å D = = ® n i i xi w f l , f (x) 在[a, b]上 Riemann 可积. 而 ( ) - ( ) £ ( ) - ( ) £ sup{ ( ) - ( )}×( - ) ® 0 ò ò ò f x dx f x dx f x f x dx f n x f x b a b a n b a n b a , 得 ò ò ®+¥ = b a n n b a f (x)dx lim f (x)dx . 例 4.3.1 ： 设 x Î[0,1] , 令 ( ) 2 , [0,1] 2 2 2 = Î - f x n xe x n x n , 容易看出 , lim ( ) = ( ) º 0 ®+¥ f x f x n n . 而对于任意 n , ( ) 2 (1 2 ), ( ) 0 2 2 2 2 2 ¢ = - ¢ = - f x n e n x f x n n x n , 则 n x 2 1 = . 而 n x 2 1 < 时 f ¢(x) > 0； n x 2 1 > 时 f ¢(x) < 0 , 因而 n x 2 1 = 是 f (x) n 在 [0,1]中的极大值点. 但 = ® +¥ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¢ - 2 1 2 2 1 ne n f n , 因此{f n (x)}在[0,1]上并不是一致收 敛与零的. 但 ( ) ò ò ®+¥ = ¹ 1 0 1 0 f (x)dx 1 lim f (x) dx n n n . 上例说明, 一致收敛只是连续函数的极限函数为连续的充分条件, 并不是必要的, 其同 时也说明如果没有一致收敛性, 积分与极限不一定能交换顺序. 例 4. 3. 2：设x Î[0,1] , 令 n n f (x) = x , 则 î í ì = ¹ = = ®+¥ 0, 1, 0, 1, lim ( ) ( ) x x f x f x n n , f (x) n 不 是一致收敛的. 但 f (x) 在[a, b]上 Riemann 可积, 并且 1 1 0 ( ) lim ( ) lim 1 0 1 0 + = = = ò ®+¥ ò ®+¥ n f x dx f x dx n n n . 此例说明一致收敛仅是极限函数可积及积分与极限可交换顺序的一个充分条件. 以后将在更一般的条件下建立积分与极限的交换关系. 但一致收敛作为连续函数的极 限函数是连续的充分条件, 在很多情况下也是必要的. 定理 4. 3. 4：设 f (x) C[a,b] n Î , 并且{f n (x)}对n 单调有界. 则 f (x) lim f (x) n n®+¥ = 在 [a, b]上连续的充分必要条件是{f n (x)}在[a, b]上一致收敛于 f (x) . 证 明 ：设 {f n (x)} 单调上升, f (x) ÎC[a,b] 但 {f n (x)} 不一致收敛. 由定义知, $e0 > 0, 使"N , n N, x [a,b] $ > n Î , 使得 0 ( ) - ( ) ³ e n n n f x f x . 由此得一单调上升序