列n,→+0及a中序列}使(x)-f(x)=/(x)-f(x)2E 由波尔察诺定理知{n}中有收敛子列,不妨设xn→x0,则对任意n,n≤n1时 f(n)-fn(n)=f(n)-fn(n)2Eo 令n 得∫(x0)-fn(x0)≥E0.但 下面讨论极限与导数交换顺序的问题.先看一个例子 例43.3:设∫n(x)= sin nx 则fn(x)→f(x)=0.但f(x)=√ n coS nx并不收敛于 ∫"(x)≡0 由此函数列已知收敛并不能保证导数与极限可交换.但如果将收敛条件加在导函数上 则有下面定理 定理4.3.5:设f(x)∈C"[a,b],并且 (1)f(x)在[a,b]上一致收敛 存在x∈,使{(x)收敛 则n(x)在ab上一致收敛,并且(lmf(x)=lmf(x) n→+①0 证明:设u(x)=limf(x).由f(x)一致收敛知u(x)∈Ca,b,并且vx∈[a,b] in∫pf(ot-1Ju(Mt.但厂(M=,(x)+f,(x)设m(x)=A,则 00)-4 max(x)-u(x)(b-a)+/(xo)-A 由此得,()34+50m显然(0(4+0)=(0 定理中条件(2)是不可缺少的例如,令fn(x)=(-)”,则{fn(x)}一致收敛,但 Gn(x)}并不收敛但定理中f(x)∈C[ab]的条件只是为了证明方便而加的如果不用 积分,则这个条件可以改为只要求fn(x)可导81 列ni ® +¥ 及[a, b]中序列{ } ni x , 使 0 ( ) - ( ) = ( ) - ( ) ³ e i i i i i i n n n n n n f x f x f x f x . 由波尔察诺定理知 { } ni x 中有收敛子列, 不妨设 0 x x ni ® . 则对任意 n , n £ ni 时, 0 ( ) - ( ) = ( ) - ( ) ³ e ni n ni ni ni ni f x f x f x f x . 令ni ® +¥ , 得 0 0 0 f (x ) - f (x ) ³ e n . 但已知 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x n n = ®+¥ , 矛盾. 下面讨论极限与导数交换顺序的问题. 先看一个例子. 例 4. 3. 3：设 n nx f x n sin ( ) = , 则 f n (x) ®® f (x) º 0. 但 f x n nx n ¢( ) = cos 并不收敛于 f ¢(x) º 0 . 由此函数列已知收敛并不能保证导数与极限可交换. 但如果将收敛条件加在导函数上, 则有下面定理 定理 4. 3. 5：设 ( ) [ , ] 1 f x C a b n Î , 并且 （1） f (x) n ¢ 在[a, b]上一致收敛； （2）存在 [ , ] x0 Î a b , 使{f n (x0 )}收敛. 则{f n (x)}在[a, b]上一致收敛, 并且(lim f (x)) lim f (x) n n n n = ¢ ¢ ®+¥ ®+¥ . 证明：设u(x) lim f (x) n n = ¢ ®+¥ . 由 f (x) n ¢ 一致收敛知u(x)Î C[a,b] , 并且"x Î[a,b], ò ò ¢ = ®+¥ x x x n n f t dt u t dt 0 lim ( ) ( ) 0 . 但 ( ) ( ) ( ) 0 0 f t dt f x f x n n x x n ¢ = + ò . 设 f n x A n = ®+¥ lim ( ) 0 , 则 max ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x u x b a f x A f x A u t dt f t dt u t dt f x A n n n x x x x n x x n £ ¢ - - + - ÷ £ ¢ - + - ø ö ç è æ - + ò ò ò 由此得 ò ®® + x n f x A u t dt 0 ( ) ( ) . 显然, ( ) ( ) ( ) 0 f x A u t dt u x x n = ¢ ÷ ø ö ç è æ ®® + ò . 定理中条件（2）是不可缺少的. 例如, 令 n n f (x) = (-1) , 则{f n ¢(x)}一致收敛, 但 {f n (x)}并不收敛. 但定理中 ( ) [ , ] 1 f x C a b n Î 的条件只是为了证明方便而加的. 如果不用 积分, 则这个条件可以改为只要求 f (x) n 可导