习题14.5场论初步 1.设a=3i+20j-15k,对下列数量场f(x,y,x),分别计算 grad f和 div(fa) (1)f(xy2=(x+y2+2)5 2) (3)f(x,y,z)=ln(x2+y2+z2) 解(1)grad∫=-(x2+y2+x2)(xi+y+k) div(fa)=-(x2+y2+2)2(3x+20y-15-)。 (2) gradf=2(xi+yj+=k) v(a)=2(3x+20y-15z) (3) gradf=2(x'+y2+22(xi+yj+=k) div(fa)=2( 2.求向量场a=x2i+y2j+z3k穿过球面x2+y2+x2=1在第一卦限部分 的通量,其中球面在这一部分的定向为上侧 解设Σ:x2+y2+z2=1(x≥0,y≥0,z≥0),方向取上侧,则所求通量为 dzdx+ 由于=d=j-x-y)b=4-b= 同理可得∫x=y=8, 所以∫xdh+y2d+=hdh 3.设r=xi+y+k,r=rl,求 (1)满足dvf(r)r]=0的函数f(r) (2)满足 divlgrad f(r)=0的函数f(r) 解(1)经计算得到 a(f(r)x) a(r)y =f(r)+f()y a(r)= f(r)+∫(r) 所以 divlf(r)r=3f(r)+rf(r)习 题 14.5 场论初步 1．设 ，对下列数量场 ，分别计算 和 ： a = 3i + 20 j −15k f x( , y,z) grad f div( fa) （1） f x( , y,z) = + (x y + z ) − 2 2 2 1 2 ； （2） f x( , y,z) = + x 2 2 y + z 2 ； （3） f x( , y,z) = + ln(x 2 2 y + z 2 )。 解（1）grad ( ) ( ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z xi + yj + zk − ， div( ) ( ) (3 20 15 ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z x + y − z − a 。 （2） grad f = 2(xi + yj + zk)， div( fa) = 2(3x + 20y −15z)。 （3）grad f = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (xi + yj + zk)， div( fa) = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (3x + 20y −15z) 。 2．求向量场 穿过球面 在第一卦限部分 的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。 a i j k 2 2 2 = x + y + z x y z 2 2 2 + + = 1 解 设 : 1 ( 0, 0, 0)，方向取上侧，则所求通量为 2 2 2 Σ x + y + z = x ≥ y ≥ z ≥ ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 ， 由于 4 8 (1 ) 1 0 3 2 0 2 2 2 π θ π π = − − = − = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Σ Σ z dxdy x y dxdy d r dr xy ， 同理可得 8 2 2 π = = ∫∫ ∫∫ Σ Σ x dydz y dzdx ， 所以 π 8 2 2 2 3 + + = ∫∫ Σ x dydz y dzdx z dxdy 。 3．设r = xi + yj + zk ，r =|r |，求： （1）满足div[ f (r)r] = 0的函数 f r( )； （2）满足div[grad f (r)] = 0的函数 f r( )。 解（1）经计算得到 r x f r f r x f r x 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) , ( ( ) ) 2 r y f r f r y f r y = + ′ ∂ ∂ r z f r f r z f r z 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， 所以 div[ f (r)r] = 3 f (r) + rf ′(r)。 1