由divf()r]=0,得3/(r)+r(r)=0,解此微分方程,得到 C f(r) 其中c为任意常数。 (2)t可(=fV,9()x(),y()=x/(),得到 0(xf"()= f()+-2f"() a(yf(I= f(r)+2f"(r), f()+二2f() 所以 ivlgrad f(r]=-f(r)+f"(r) 由 divlgrad f(=0,得2f(r)+rf"()=0,解此微分方程,得到 f()=S 其中c1c2为任意常数 4.计算 grade r+In(c r) 其中c是常矢量,r=x+y+k,且cr>0 解设c=(,c2c2),u=cr+ln(cr),则 C ax c·r)'a 所以 2 cr 5.计算向量场a= grad arctan2沿下列定向曲线的环量: (1)圆周(x-2)2+(y-2)2=1,z=0,从z轴正向看去为逆时针方向 (2)圆周x2+y2=4,z=1,从z轴正向看去为顺时针方向。 解经计算,可得 ,0)由div[ f (r)r] = 0，得3 f (r) + rf ′(r) = 0，解此微分方程，得到 3 ( ) r c f r = ， 其中c为任意常数。 （2）由 ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ，得到 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r x f r r r x f r r x x ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r y f r r r y f r r y y ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r z f r r r z f r r z z ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， 所以 2 div[grad f (r f )] (r) f "( ) r = ′ + r 。 由div[grad f (r)] = 0，得2 f ′(r) + rf ′′(r) = 0，解此微分方程，得到 1 2 ( ) c f r c r = + ， 其中c1 ,c2为任意常数。 4. 计算 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ln( ⋅ ) 2 1 grad c r c r 其中c是常矢量，r = xi + yj + zk ，且c ⋅r > 0。 解 设 c = (c1 ,c2 ,c3 ) ， ln( ) 2 1 u = c ⋅r + c ⋅r ，则 2( ) , 2( ) , 2( ) 3 3 2 2 1 1 c r c r c ⋅r = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ c c z c u c y c u c x u ， 所以 c r c c r c r c ⋅ = + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ 2 1 ln( ) 2 1 grad 。 5. 计算向量场 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 沿下列定向曲线的环量： （1）圆周( ) x y − + 2 2 2 2 ( − ) = 1, z = 0，从 轴正向看去为逆时针方向； 1 z （2）圆周 x y 2 2 + = 4, z = ，从 z 轴正向看去为顺时针方向。 解 经计算，可得 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 2 2 1 ( , y x,0 x y = − + )， 2