y x-+ 它在除去z轴的空间上是无旋场。 (1)设L={(x,y)(x-2)+(y-2)=1=0},从=轴正向看去为逆时针 方向;={x,y,2)(x-2)2+(y-2)1:2=0,方向取上侧。由于=轴不 穿过曲面Σ,根据 Stokes公式, 「 rot ads=0 (2)令x=2cos0,y=2sin0,z=0,则 dy-yd 6.计算向量场r=xz(i+j+k)在点M(132)处的旋度,以及在这点沿 方向n=i+2j+2k的环量面密度。 解由 xy= xyz xy= 可得 r(M) 向量场r=xz(计++k)在点M1,32)沿方向n的环量面密度为 n li rdr= rotr(m) 7.设a=a计+a,+ak向量场,f(x,y,x)为数量场,证明:(假设函数 an,an,a.和f具有必要的连续偏导数) (1) div(rot a)=0 (3) grad(diva)-rot(rot a)=Aa 证(1)rota aa da 设a,aa.二阶偏导数连续,则2 2 2 2 rot 0 y z y x x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − + + 0 i j k a = x ， 它在除去 z 轴的空间上是无旋场。 （1）设 { } 2 2 L x = − ( , y,z) (x 2) + ( y − 2) =1,z = 0 ，从 轴正向看去为逆时针 方向； z { } 2 2 Σ = ( , x y,z) (x − 2) + ( y − 2) ≤ 1,z = 0 ，方向取上侧。由于 轴不 穿过曲面 ，根据 Stokes 公式， z Σ d rot d 。 L Σ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫∫ a s a S 0 （2）令 x y = = 2cosθ , 2sinθ ,z = 0，则 2 2 d L L xdy ydx x y − ⋅ = + ∫ ∫ a s 2 0 d 2 π = − θ = − π ∫ 。 6. 计算向量场r = xyz(i + j + k) 在点 M( , 1 3,2) 处的旋度，以及在这点沿 方向n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。 解 由 rot x(z y) y(x z) z( y x) x y z xyz xyz xyz ∂∂∂ = = − + − + ∂ ∂ ∂ i j k r i j − k ， 可得 rot r (M ) = −i − 3j + 4k 。 向量场r = xyz(i + j + k)在点 M( , 1 3,2) 沿方向n的环量面密度为 ⋅ = Σ ∫ ∂Σ Σ→ r dr M m( ) 1 lim rot r (M ) 3 1 ⋅ = n n 。 7. 设 向量场， 为数量场，证明：（假设函数 和 具有必要的连续偏导数） a = ax i + ay j + azk f x( , y,z) a a x y , ,az f （1）div(rot a) = 0； （2）rot (grad f ) = 0； （3）grad(diva) − rot(rot a) = ∆a 。 证（1） rot z y y x x z a a a a a a y z z x x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = − ⎜ ⎟ + − + ⎜ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ a i ⎞ ⎟ ⎠ j k 。 设ax , ay , az 二阶偏导数连续，则 3