div(rot a) 0。 ax\ ay az)ay( az ax)az( ax ay (2)rot(grad) Ox ay a (3)由 adive adiva grad(diva) a-a aa aa. a ax2 dxdy axd: andy ay2 ayd adz ayo Q:2k 以及 da da da ta ay az (②-p(a ay aa a2a rot(rot a) andy ay a=- dxdz aaaa aa 2a a2a aa a axa ax 得到 grad(diva)-rot(rota)=△ai+△a,j+△ak=△a 8.位于原点的点电荷q产生的静电场的电场强度为 E=9(x+y+k),其中r=√x2+y2+x2,2为真空介电常数。 tEO 求rotE。 解 3=x 3=x 3xy 3x 所以 rotE=0,(x,y,=)≠0。div(rot ) = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = y a x a x z a z a z y a y a x z y x z y x a 。 （2）rot (grad f ) y z fff x y z ∂∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 x i j k 。 （3）由 k a j a i a a x y ∂z ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = div div div grad(div ) i j ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = y z a y a x y a x z a x y a x a z x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + 2 2 2 2 z a y z a x z a z x y ， 以及 a i j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y a x a x a z a z a y az y x z y x rot ， rot(rot a) = i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ x z a z a y a x y a x x z y 2 2 2 2 2 2 j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + y z a y a x a x z a x y a x a z a y z a y x x z z y y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 得到 grad(diva) − rot(rot a) = ∆ax i + ∆ay j + ∆azk = ∆a 。 8. 位于原点的点电荷 q 产生的静电场的电场强度为 ( ) 4 3 0 E xi yj zk r q = + + πε ，其中r x = + y + z 2 2 2 ，ε 0为真空介电常数。 求rot E 。 解 0 3 3 3 3 4 4 ⎟ = − + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r yz r yz r y r z z y ， 3 3 x z z r x r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 zx zx r r − + = ， 3 3 y x x r y r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 xy xy r r − + = ， 所以 rot , E 0 = ≠ (x y, ,z) 0。 4