精品课程《数学分析》课外训练方案 In t -asinI =l-asint 我们可任选一组,例如第一组。显然,被积函数和L都具有轮换对称性,则 I(xy+yz+ex) ds=3 eds Sint(cos、l sinox(0)+y2()+=(dr 3a|sinr(cos-、l 3 sin(dt=-ajsin2tdt=-ma' 解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y),新坐标是(X,),旋转角为6,则旋转变换的一般公式为 Sine+rcos e 因为平面x+y+=0的单位法为万=51,则它与轴的夹角余弦为0p=下面分两 步进行旋转,先将Ox平面旋转,得新坐标系On1;再将O平面旋转φ,得新坐标系Onw。即 O 由旋转公式得 = wcos -usin g l=wsinφ+ucosφ 于是得 (ucosφ-v+ wsin o) (ucosφ+v+ wsin g) cosφ精品课程《数学分析》课外训练方案 3 t a t a x sin 6 cos 2 = − t a t a x sin 6 cos 2 = − − t a t a y sin 6 cos 2 = − − ， t a t a y sin 6 cos 2 = − z asin t 3 2 = z asin t 3 2 = 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和 L 都具有轮换对称性，则 ∫ + + L (xy yz zx)ds ∫ = L 3 zxds ∫ = 2π 0 2 3a sin t t sin t) x (t) y (t) z (t)dt 3 1 (cos 2 2 2 − ′ + ′ + ′ ∫ = 2π 0 3 3a sin t t sin t)dt 3 1 (cos − 3 2 0 3 2 a sin tdt πa π = − = − ∫ 解法 3 作坐标旋转。就坐标是(x, y) ，新坐标是(X ,Y ) ，旋转角为θ ，则旋转变换的一般公式为 x = X cosθ −Y sinθ ， y = X sinθ + Y cosθ 因为平面 x + y + z = 0 的单位法矢为 {1,1,1} 3 1 n = r ，则它与 z 轴的夹角余弦为 3 1 cosφ = 。下面分两 步进行旋转，先将Oxy 平面旋转 4 π ，得新坐标系Ou′vz；再将Ozu′平面旋转φ ，得新坐标系Ouvw。即 Oxyz Ou′vz Ouvw 由旋转公式得 ( ) 2 1 x = u′ − v z = wcosφ − u sinφ ( ) 2 1 y = u′ + v u′ = wsinφ + u cosφ 于是得 ( cos sin ) 2 1 x = u φ − v + w φ ( cos sin ) 2 1 y = u φ + v + w φ z = wcosφ − u sinφ