精品课程《数学分析》课外训练方案 曲线积分P+b=1P(w()(+0oy)h 、基本方法和基本要求 (会)利用公式 f(x, y)ds=f(r(o), y(Ovo(0+y(ndt 和 Pds P((1),y()g(1)+Q(q(1),v(D)y()]dt 计算第一型和第二型曲线积分 典型例题 例1求(+y=+2x)d,其中L是球面x2+y2+2=a2与平面x+y+5=0的交线 解法1J(+x+x)=12x+y+ [(x+y+)2-(x2+y2+2)ds (x-+y2+2 ds=二a[ds=-m3 解法2求曲线L的参数方程。由x2+y2+z2=a2,x+y+x=0消去y,得 (x+)2+ 即(x+5)2=21(1-n2=2),令=1 asin,则 )=±c=c y=-(x+3=+-coSt-sint 于是得到两组参数方程精品课程《数学分析》课外训练方案 2 曲线积分 Pds Qdy ＝ 。 L + ∫ [P(( (t), (t)) (t) Q( (t), (t)) (t)]dt ' ' ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ β α + ∫ 二、基本方法和基本要求 （会）利用公式 f x y ds f x t y t t t dt L ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) 2' 2' ϕ ψ β α = + ∫ ∫ 和 Pds Qdy L + ∫ ＝ [P(( (t), (t)) (t) Q( (t), (t)) (t)]dt ' ' ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ β α + ∫ 计算第一型和第二型曲线积分。 三、典型例题 例 1 求 ∫ + + ，其中 L (xy yz zx)ds L 是球面 与平面 2 2 2 2 x + y + z = a x + y + z = 0 的交线。 解法 1 ∫ + + L (xy yz zx)ds ∫ = + + L 2(xy yz zx)ds 2 1 ∫ = + + − + + L [(x y z) (x y z )]ds 2 1 2 2 2 2 ∫ + + − = L (x y z )ds 2 1 2 2 2 ∫ = − − = L ds a a 3 2 2 π 解法 2 求曲线 L 的参数方程。由 ， 2 2 2 2 x + y + z = a x + y + z = 0 消去 y ，得 2 2 2 2 x + (x + z) + z = a 即 ) 2 3 (1 2 ) 2 ( 2 2 2 2 z a z a x + = − ，令 z asin t 3 2 = ，则 ) 2 3 (1 2 2 2 2 2 z a z a x = − ± − t a t a sin 6 cos 2 = ± − t a t a y x z sin 6 cos 2 = −( + ) = m − 于是得到两组参数方程