精品课程《数学分析》课外训练方案 第20章曲线积分 基本概念 1、第一型曲线积分的定义 设L为平面上可求长的曲线段,f(x,y)为定义在L的函数,对曲线L作分割T,它把L分割为n格可 求长度的小曲线段L(1=1…,n),L的孤长记为As,分割7的细度为= manAs,在L上任取一点 (5,n1)(=1…,n)。若有极限 靶∑(5,n)A= 存在,并且J与分割T和点(5门)的选取无关。则称此极限为∫(x,y)在L上的第一型曲线积分,记作 f(x, 、第一型曲线积分的计算 x=(1) 定理:设有光滑曲线L y=w’t∈[a,B,函数f(x,y)为定义在L上的连续函数,则 fs(r, y)ds=r/((),y(92(+2()dt 3、第二型曲线积分 设函数P(x),Q(x)定义在平面有向可求长度曲线L上。对L的任一分割T,它把T分为n个小弧段 M1M1(i=1…,n,其中M6=A,Mn=B。记各小曲线段MM的弧长为As,|/=maxs} 并记Ax=x-x-,y=y1-y-1,(i=1,…,n),又设任意(5,m)∈M=1M,若极限 ∑P(5,)x+m∑Q(5,m 存在且与分割T与点(5,)的取法无关,则称此极限为函数P(x),Q(x)沿有向线段L上的第二型曲线积分 记为|Ps+Qh。 4、第二型曲线积分的计算 (1) 设平面曲线L y=w().t∈[a,月,其中o(1),()在,上具有一阶连续导函数,且点A与B 的坐标分别为((a),v(a)和(叫(B),v(B)。又设P(x),Q(x)为L的连续函数,则沿L从A到B的第二型精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第 20 章 曲线积分 一、基本概念 1、第一型曲线积分的定义 设 L 为平面上可求长的曲线段， f (x, y) 为定义在 L 的函数，对曲线 L 作分割T ，它把 L 分割为 格可 求长度的小曲线段 （ ）， 的弧长记为 n Li i = 1,L, n Li i ∆s ，分割T 的细度为 i i n T = ∆s 1≤ ≤ max ，在 Li 上任取一点 ( , ) ξ i ηi （i = 1,L, n ）。若有极限 f J n i i i T ∑ ∆ = = → 1 i 0 lim (ξ ,η ) s 存在，并且 J 与分割T 和点( , ) ξ i ηi 的选取无关。则称此极限为 f (x, y) 在 L 上的第一型曲线积分，记作 ∫L f (x, y)ds 。 2、第一型曲线积分的计算 定理:设有光滑曲线 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) : y t x t L ψ ϕ t ∈[α, β ]，函数 f (x, y) 为定义在 L 上的连续函数，则 f x y ds f x t y t t t dt L ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) 2' 2' ϕ ψ β α = + ∫ ∫ 3、第二型曲线积分 设函数 P(x),Q(x) 定义在平面有向可求长度曲线 L 上。对 L 的任一分割T ,它把T 分为 个小弧段 （ ），其中 ， n Mi−1Mi i = 1,L, n M 0 = A M n = B 。记各小曲线段 的弧长为 , Mi−1Mi i ∆s max{ } 1 i i n T = ∆s ≤ ≤ , 并记 ,（ ），又设任意( 1 1 , ∆ i = i − i− ∆ i = i − i− x x x y y y i = 1,L, n ξ i η j , )∈ Mi−1Mi ,若极限 i n i i i T ∑P ∆x = → 1 0 lim (ξ ,η ) + i n i i i T ∑Q ∆y = → 1 0 lim (ξ ,η ) 存在且与分割T 与点(ξ i η j , )的取法无关,则称此极限为函数 P(x),Q(x) 沿有向线段 L 上的第二型曲线积分, 记为 Pds Qdy 。 L + ∫ 4、第二型曲线积分的计算 设平面曲线 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) : y t x t L ψ ϕ t ∈[α, β ]，其中ϕ(t) ，ψ (t) 在[α, β ]上具有一阶连续导函数，且点 A 与 B 的坐标分别为(ϕ(α),ψ (α)) 和(ϕ(β ),ψ (β )) 。又设 P(x),Q(x) 为 L 的连续函数，则沿 L 从 A 到 B 的第二型