94 西南民族大学学报（自然科学版） 第42卷 同理可得 而 d'w as=a(02-12.a)=g.y ax ax\ay ax ayax 2. +.++4 串=制影…恶 ay ay\ay dxoy ay2 ay ay ayay 0y2 ·4+2.4 =k(架+=k.g+k业 ax ax(ax ay dyox dy dy +ug =k哭+)=ke+k. 故 ay ay\ax ay axdy 2 d'w,d'w d'uk d'vk 因为p(x,y）,平(x,y）满足K-Laplace方程. d? +2业.肥+4 + 则 ·4+2 du.dk ay ay +ug 2/ dx2 kay dr ·4+2. +uk· + -业 亚 ax kay 5·4+2u. avk 又因为二阶混合偏导连续，故 Ka 2+a 8'ug 鼎品 ·(+隐)+0·是+ ax ax ay ay a2业a2亚业 + axay ayax 从而 因为u,(x,y）,(x,y）是一对共轭K-调和函 数，满足K-Laplace方程、Cauchy-Riemann-K方 程 即s=p,-Ψ.，t=k(p.+业，)满足Cauchy 故 -Riemann-K方程.于是f(z)=s+it是K-解析 函数.由引理1，可得t=k(p+业，)是s=9,- 2平.共轭K-调和函数，证毕. 0+2(-y+ a.au+u.u）+ 3结束语 44·0=0 根据K-调和函数和K-解析函数定义，运用 即0=uk(x,y）·(x,y）满足K-Laplace方程， Cauchy-Riemann-K方程及K-Laplace算子对K- 故山(x,y）,(x,y）的乘积仍为K-调和函数.证 调和函数的性质进行研究.调和函数与解析函数是K 毕 -调和函数与K-解析函数在k=1时的特殊情况. 定理4若函数p(x,y）,亚(x,y）为K-调和函 因此，我们可以由更多的调和函数及解析函数的性 数，则1=k(p.+亚，)是s=9,-Ψ共轭K-调和 质，探究K-调和函数与K一解析函数是否也具有此 函数，且f(z)=s+t是K-解析函数. 类的性质？ 证明函数p(x,y）,业(x,y)为K-调和函数， 故二阶偏导数均连续，且满足K-Laplace方程 参考文献 g+9=0, ]冯志新.有关调和函数的一组结论】.吉林师范大学学报：自然 ax2 kay 版，2006,2：97-99. 胖+瑞0 [2]张建元.K-解析函数及其存在的条件们.云南民族大学学报：自 然版，2007,16(4)：298-302. ?1994-2018 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net西南民族大学学报( 自然科学版) 第 42 卷 同理可得  2 w y 2 =  uk y ( ) ·vk + uk·vk  ( ){ } y y =  2 uk y 2 ·vk + uk y ·vk y + uk y ·vk y + uk· 2 vk y 2 =  2 uk y 2 ·vk + 2 uk y ·vk y + uk· 2 vk y 2 ． 故  2 w x 2 +  2 w k 2 y 2 =  2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 + 1 k 2  2 uk y 2 ·vk + 2 uk y ·vk y + uk· 2 vk y ( ) 2 =  2 uk x 2 ·vk + 2 uk x ·vk x + uk· 2 vk x 2 +  2 uk k 2 y 2·vk + 2 uk y · vk k 2 y + uk·  2 vk k 2 y 2 = vk·  2 uk x 2 +  2 uk k 2 y ( ) 2 + 2 uk x ·vk x + uk y · vk k 2  ( ) y + uk·  2 vk x 2 +  2 vk k 2 y ( ) 2 ． 因为 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 是一对共轭 K － 调和函 数，满足 K － Laplace 方程、Cauchy － Ｒiemann － K 方 程． 故  2 w x 2 +  2 w k 2 y 2 = vk·0 + 2· － vk y · uk k 2 y + uk y · vk k 2  ( ) y + uk·0 = 0 即 w = uk ( x，y) ·vk ( x，y) 满足 K － Laplace 方程， 故 uk ( x，y) ，vk ( x，y) 的乘积仍为 K － 调和函数 . 证 毕． 定理 4 若函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为 K － 调和函 数，则 t = k( φx + Ψy ) 是 s = φy － k 2 Ψx 共轭 K － 调和 函数，且 f( z) = s + it 是 K － 解析函数． 证明 函数 φ( x，y) ，Ψ( x，y) 为 K － 调和函数， 故二阶偏导数均连续，且满足 K － Laplace 方程  2 φ x 2 +  2 φ k 2 y 2 = 0 ，  2 Ψ x 2 +  2 Ψ k 2 y 2 = 0 ． 而 s x =  x φ y － k 2 ·Ψ  ( ) x =  2 φ yx － k 2 · 2 Ψ x 2 ， s y =  y φ y － k 2 ·Ψ  ( ) x =  2 φ y 2 － k 2 · 2 Ψ xy ， t x = k·  x φ x + Ψ  ( ) y = k· 2 φ x 2 + k· 2 Ψ yx ， t y = k·  y φ x + Ψ  ( ) y = k·  2 φ xy + k· 2 Ψ y 2 ． 因为 φk ( x，y) ，Ψk ( x，y) 满足 K － Laplace 方程． 则  2 φ x 2 = －  2 φ k 2 y 2 ，  2 Ψ x 2 = －  2 Ψ k 2 y 2 ． 又因为二阶混合偏导连续，故  2 φ yx =  2 φ xy ，  2 Ψ xy =  2 Ψ yx ． 从而 sx = ty k ，tx = － sy k ． 即 s = φy － k 2 Ψx ，t = k( φx + Ψy ) 满足 Cauchy － Ｒiemann － K 方程 . 于是 f( z) = s + it 是 K － 解析 函数 . 由引理 1，可得 t = k( φx + Ψy ) 是 s = φy － k 2 Ψx 共轭 K － 调和函数，证毕． 3 结束语 根据 K － 调和函数和 K － 解析函数定义，运用 Cauchy － Ｒiemann － K 方程及 K － Laplace 算子对 K － 调和函数的性质进行研究． 调和函数与解析函数是 K － 调和函数与 K － 解析函数在 k = 1 时的特殊情况． 因此，我们可以由更多的调和函数及解析函数的性 质，探究 K － 调和函数与 K － 解析函数是否也具有此 类的性质? 参考文献 ［1］冯志新 . 有关调和函数的一组结论［J］． 吉林师范大学学报: 自然 版，2006，2: 97 － 99． ［2］张建元. K － 解析函数及其存在的条件［J］． 云南民族大学学报: 自 然版，2007，16( 4) : 298 － 302． 94