1理想准晶格的数学模型 设锰一铝排列链8，】（简称“链”）中的每个圆周上均布着10个结点（被叠圆周则为 9个)，其中2个在轴线上，则理想准晶格平面投影图的数学模型由上、下两层链构成，每 层链的轴线相互平行。上、下两层链的轴线分别用L”L;,j=0,±1，±2，…表示， 分别记(x,y,)和(x;,y)为L,L轴上链中第一个圆心的坐标，规定(xo,y。)=(0,0): (x0,y6)=-(a+b)(cos36°，sin36°)。当j牛0时： x,=30+26)cos36°为奇数1 y,=j(3a+2b)sin36° (1) 0 其它 对- 为奇数， yi=yo+yi (2) 其它 若认定上层链中的圆（叠圆）所遮盖着的下层链中对应结点不显示（在Hiraga的高分 辨电子显微图中它们似乎不显或弱显)，则本投影图的主要特征由下节诸定理严格描述。 记号分别用C;和C'；表L,和L}轴上链中的第n个圆。而C,,C,,k=1,2, ,10则分别为C;,C；周上均布着的10个结点（标号沿逆时针方向，从属于L,、L; 轴正向的轴上结点算起)。Ci,o和C'i,0分别是C;和C；的圆心，分别记X;和X'；为 C;,0和C,a的x坐标，分别记S。和S。为L。轴和L。轴上锰一铝链所产生的结点的坐标 之集合，F,的定义同〔5)、〔6)中的花体F。 2刻划准晶格特征的数学定理 命题1两个半径为a的圆，若圆心坐标分别为(0,0)和(a+b,0),其中a/b= (1+V5)/2,则两圆周的两个交点与原点连线形成的夹角为72°。若10等分半径为a的 圆周，则弦长为b。 命题2若dist(C1,o,Ci.8)=2a+b,则dist(Ci.2,Ci)=a,dist(Ci.1,Ci)= a:dist(Ci.,Ci,)=2a。若dist(Ci.。,Ci)=a+b,则dist(C.,Ci)=a;dist (C.,C.)=a。 引理1对任意"≥3，F.可由F、F2的组合表出，且表达式唯一。 证用归纳法和引理1。 引理2对任意n≥3，当F。由F3、F2的组合表出时，至多有两个F3相邻，而F,彼 此分开。 引理8对任意n≥3，当F,由F、Fz的组合表出时，F3的尾符恰表锰一铝排列链 中完整圆之圆心，而F:的尾符恰对应着被叠圆的圆心。 证因锰一铝排列链生成Fibonacci排列【s,s】,故从F&的尾符是a而F,后所接字符 仍是a,即知F3尾符必表完整圆之心。再由引理2知F2只能与Fg相邻，故从F,FzF,= (cba)(ab)(aba)和刚才的讨论与锰一铝规则知第5、6个字符ba只能代表一被叠圆。 393理 想准晶格的数学模型 设锰一 铝排 列链 ，‘ ， ” 简称 “ 链 ” 中的每个圆周上 均布着 个结点 被叠圆周则为 个 ， 其 中 个 在轴线上 ， 则理想准 晶格平面 投影图的数学 模型 由上 、 下 两层 链构成 ， 每 层 链 的轴线 相互 平行 。 上 、 下 两层链 的轴线分别 用 ，， ， 二 ， 土 ， 士 ， … 表 示 ， 分别记 ，， 夕 ， 和 ， 夕 为 ，， 今轴上 链 中第一个 圆心 的 坐标 ， 规定 ， 。 ， 。 乙 ， 夕 急 一 “ ， “ 。 当 今 时 。 为 奇数 其它 ， 。 ‘ 十 ‘ 为奇数， 其它 川 么 ， 若认定上层链 中的 圆 叠 圆 所遮盖 着的下层 链 中对应结点不显示 在 的 高 分 辨电子显微图中它们 似乎不 显或弱显 ， 则本投影 图的主要特征 由下节诸 定理 严格描述 。 记号 分别 用 夕和 ， 罗表 ， 和 轴上链中的第 个圆 。 而 罗 ， 、 ， ， ， ， ， ， … ， 则分别 为 罗 ， ， 罗周上 均布着的 个结 点 标号 吞沿逆 时针方向 ， 从 属 于 ，、 轴正 向的轴上 结 点算起 。 下 ， 。 和 ‘ 夕 ， 。 分别 是 下和 ， 罗的 圆 心 ， 分 别 记 夕和 ‘ 为 岁 ， 。 和 ， 下 ， 。 的 坐标 ， 分 别记 。 和 石为 。 轴和 台轴上 锰一 铝链所 产生 的结 点的坐标 之集合 ， 尸 。 的定义 同〔 〕 、 〔 〕 中的花体 ， 。 刻划准 晶 格特征 的数学定理 命题 两个半径 为 的圆 ， 若圆心 坐标分 别为 。 ， 和 十 ， ， 其 中 。 二 十 侧一万 ， 则两 圆周的两个交点与原点连线 形成 的夹 角为 “ 。 若 等分 半径为 。 的 圆周 ， 则弦 长为 命题 若 罗 ，。 ， 罗 ， 则 罗 ， ， 夕廿 二 ， ， ， 护 ， 夕 ， 夕广 。 若 丁 。 ， 犷 ， 则 夕 ， 夕 ， 夕 ， ， ， 夕护 。 引理 对 任意 多 ， 尸 可 由 、 的组合表 出 ， 且表 达式唯一 。 证 用 归纳 法和 引理 。 引理 对 任意 ， 当 。 由 、 的组合表 出时 ， 至 多有两 个 相邻 ， 而 彼 此分 开 。 引理 对 任意 。 妻 ， 当 尸 。 由 、 尸 的组合表 出时 ， 。 的尾符恰表锰一 铝 排 列链 中完整圆之圆心 ， 而 的 尾符恰对应着被叠 圆的圆 心 。 证 因锰一 铝排 列 链生 成 排 列 〔 “ ， “ ’ ， 故 从 。 的 尾符是 而 后所接 字 符 仍是 ， 即 知 尸 尾符必表 完整 圆之心 。 再 由引理 知 只能 与 相邻 ， 故从 二 如 。 。 。 和 刚 才的 讨论 与锰一 铝规 则知 第 、 个字符 。 只能 代表一被叠圆