一种理想准晶格的数学模型

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1988.03.020 北京钢铁学院学报 第10卷第3期 Journal of Beijing University Vol,10 No.3 1988年7月 of Iron and Steel Technology July 1988 一种理想准晶格的数学模型 闵乐泉 李蔌 (数学第教研京) (数学第一效研常) 捕 要 本文提出了一种用想渑晶格的数学横型，它的平面投彩图中，平行的水平直线 上钻点服从Fibonacci排列，而每个分离的是环状结点的中心都是局部5次对称 中心，两个相态（相分离）的环状结点外层均布着14(16)个结点，很圆满地描述 了Hiraga等人的留一铝准品体高分辨图。 关键词：钻构慎型，岔合金，准品格 Mathematical Model for Structure of Ideal Quasicrystal Lattices Min Lequan,Li Yi Abstract In this paper,a mathematical model for structure of ideal quasicrystal lattices is set up.This Model describes very beaulifully the following phenomena which is shown in the electron micrograph of the Mn-Al quasicrystal obtained by Hiraga et al.In some local areas,ten bright dots groups are distributed in concentric circles;sixlcen bright dots are distributed the surroundings of every two neighbourhood righs of bright dots;and fourteen bright dots arc distributed the surroundings of every double overlapping rings of bright dots. Therefore,it seems that this model can explain more phenomena in Mn-Al alloy qua;icrystal than those reported by Hiraga et al,and could offer some new 1987一05一20收稿 391

北 京 钢 铁 学 院 学 报 第 卷第 期 年 月 。 。 一种理想准 晶格的数学模型 阂乐泉 李 获 数学 第 一 ’ 教研 宁 数学 第一 较研常 摘 要 本文 提出 了一 种理想 准 晶格 的数学 模型 ， 它的 平面投影 图 中 ， 平行的水 平直线 上 结 点服 从 排 列 ， 而 每个 分 离的皇 环 状 结点 的 中心 都 是局 部 次 对称 中心 ， 两 个 相 敌 相分 离 的环 状结点 外层均布着 个结 饮 ， 很 圆满 地描 上 了 等人 的锰 一侣淮 晶体高分辨图 关键词 结构 模型 ， 锰 合金 ， 准晶格 ‘ ， ， ‘ · ， ，， “ · 一 一 · ， 、 飞 · ， · 手 ， 一 弓一 收 稿 草 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1988．03．020

ideas for the theoretical research of structure of quasicrystal. Key words:structural model,manganese alloys;quasicrystal lattices. 引 言 1984年11月，D。Shechman等人在急冷锰一铝合金中拍摄到第一张准晶体电子衍射 图1)。这个发现冲破了100年来建立的经典晶体学的现有理论基础。本文借助前段工作提 出了一种理想准晶格的数学模型（见图1和2），它与彭志忠[21构造的有所相似，但抛弃 了“从中心生成”的思想。由于本模型的特征与Hiraga等人报道的迄今为止最为清晰完整 的锰一铝准晶体高分辨图【4】奇妙地吻合，放似可比其它模型〔34幻更好地解释这种准晶体中 的现象。作者们期望本研究可为准晶态结构的理论研究提供某些基础和新的想法与数字工 具。 图1理想准品格的数学模型 Fig.1 Mathematical model for structure of idcal quasicrystal lattices 图2C丹=1被叠國，C8完整的分离网：C。+1完整的重叠圆 Fig.2 ca=loverlapped circler ca seperated circle,ca+loverlapping circle 392

玉 · ， 引 ‘ 言 年 月 ， 等人 在急冷锰一铝 合金 中拍摄到第，张堆 晶体电 子 衍 射 图 ’ 〕 。 这 个发 现 冲破 了 年来建立 的经典 晶体学的现有 理论基础 。 本文借助前 段 工 作提 出了一种理想准 晶格的数学模型 见 图 和 ， 它与彭志忠 构造的有所相似 ， 但 抛 弃 了 “ 从 中心 生 成 ” 的思想 。 由于 本模 型 的特征 与 等人 报道的迄今为止最为清晰完 整 的锰一铝准 晶体高分 辨 图 〔 呜 ’ 奇妙 地吻合 ， 故 似可 比其它模型 〔 ， ‘ 更好地解释这种准 晶体中 的现象 。 作 者们 期望 本研究可 为准 晶态 结构 的理论研究提供某 些基础和新的想 法 与 数 字 工 具 。 图 理想 准 晶格 的数 学 模型 尔 图 忿‘ 被盛 圆， 忍完整的分离圆， ‘ ’ 完整 的重处 圈 三 · 三 ‘ ， “ 君 “ ， “ 蓄 干 ‘

1理想准晶格的数学模型 设锰一铝排列链8，】（简称“链”）中的每个圆周上均布着10个结点（被叠圆周则为 9个)，其中2个在轴线上，则理想准晶格平面投影图的数学模型由上、下两层链构成，每 层链的轴线相互平行。上、下两层链的轴线分别用L”L;,j=0,±1，±2，…表示， 分别记(x,y,)和(x;,y)为L,L轴上链中第一个圆心的坐标，规定(xo,y。)=(0,0): (x0,y6)=-(a+b)(cos36°，sin36°)。当j牛0时： x,=30+26)cos36°为奇数1 y,=j(3a+2b)sin36° (1) 0 其它 对- 为奇数， yi=yo+yi (2) 其它 若认定上层链中的圆（叠圆）所遮盖着的下层链中对应结点不显示（在Hiraga的高分 辨电子显微图中它们似乎不显或弱显)，则本投影图的主要特征由下节诸定理严格描述。 记号分别用C;和C'；表L,和L}轴上链中的第n个圆。而C,,C,,k=1,2, ,10则分别为C;,C；周上均布着的10个结点（标号沿逆时针方向，从属于L,、L; 轴正向的轴上结点算起)。Ci,o和C'i,0分别是C;和C；的圆心，分别记X;和X'；为 C;,0和C,a的x坐标，分别记S。和S。为L。轴和L。轴上锰一铝链所产生的结点的坐标 之集合，F,的定义同〔5)、〔6)中的花体F。 2刻划准晶格特征的数学定理 命题1两个半径为a的圆，若圆心坐标分别为(0,0)和(a+b,0),其中a/b= (1+V5)/2,则两圆周的两个交点与原点连线形成的夹角为72°。若10等分半径为a的 圆周，则弦长为b。 命题2若dist(C1,o,Ci.8)=2a+b,则dist(Ci.2,Ci)=a,dist(Ci.1,Ci)= a:dist(Ci.,Ci,)=2a。若dist(Ci.。,Ci)=a+b,则dist(C.,Ci)=a;dist (C.,C.)=a。 引理1对任意"≥3，F.可由F、F2的组合表出，且表达式唯一。 证用归纳法和引理1。 引理2对任意n≥3，当F。由F3、F2的组合表出时，至多有两个F3相邻，而F,彼 此分开。 引理8对任意n≥3，当F,由F、Fz的组合表出时，F3的尾符恰表锰一铝排列链 中完整圆之圆心，而F:的尾符恰对应着被叠圆的圆心。 证因锰一铝排列链生成Fibonacci排列【s,s】,故从F&的尾符是a而F,后所接字符 仍是a,即知F3尾符必表完整圆之心。再由引理2知F2只能与Fg相邻，故从F,FzF,= (cba)(ab)(aba)和刚才的讨论与锰一铝规则知第5、6个字符ba只能代表一被叠圆。 393

理 想准晶格的数学模型 设锰一 铝排 列链 ，‘ ， ” 简称 “ 链 ” 中的每个圆周上 均布着 个结点 被叠圆周则为 个 ， 其 中 个 在轴线上 ， 则理想准 晶格平面 投影图的数学 模型 由上 、 下 两层 链构成 ， 每 层 链 的轴线 相互 平行 。 上 、 下 两层链 的轴线分别 用 ，， ， 二 ， 土 ， 士 ， … 表 示 ， 分别记 ，， 夕 ， 和 ， 夕 为 ，， 今轴上 链 中第一个 圆心 的 坐标 ， 规定 ， 。 ， 。 乙 ， 夕 急 一 “ ， “ 。 当 今 时 。 为 奇数 其它 ， 。 ‘ 十 ‘ 为奇数， 其它 川 么 ， 若认定上层链 中的 圆 叠 圆 所遮盖 着的下层 链 中对应结点不显示 在 的 高 分 辨电子显微图中它们 似乎不 显或弱显 ， 则本投影 图的主要特征 由下节诸 定理 严格描述 。 记号 分别 用 夕和 ， 罗表 ， 和 轴上链中的第 个圆 。 而 罗 ， 、 ， ， ， ， ， ， … ， 则分别 为 罗 ， ， 罗周上 均布着的 个结 点 标号 吞沿逆 时针方向 ， 从 属 于 ，、 轴正 向的轴上 结 点算起 。 下 ， 。 和 ‘ 夕 ， 。 分别 是 下和 ， 罗的 圆 心 ， 分 别 记 夕和 ‘ 为 岁 ， 。 和 ， 下 ， 。 的 坐标 ， 分 别记 。 和 石为 。 轴和 台轴上 锰一 铝链所 产生 的结 点的坐标 之集合 ， 尸 。 的定义 同〔 〕 、 〔 〕 中的花体 ， 。 刻划准 晶 格特征 的数学定理 命题 两个半径 为 的圆 ， 若圆心 坐标分 别为 。 ， 和 十 ， ， 其 中 。 二 十 侧一万 ， 则两 圆周的两个交点与原点连线 形成 的夹 角为 “ 。 若 等分 半径为 。 的 圆周 ， 则弦 长为 命题 若 罗 ，。 ， 罗 ， 则 罗 ， ， 夕廿 二 ， ， ， 护 ， 夕 ， 夕广 。 若 丁 。 ， 犷 ， 则 夕 ， 夕 ， 夕 ， ， ， 夕护 。 引理 对 任意 多 ， 尸 可 由 、 的组合表 出 ， 且表 达式唯一 。 证 用 归纳 法和 引理 。 引理 对 任意 ， 当 。 由 、 的组合表 出时 ， 至 多有两 个 相邻 ， 而 彼 此分 开 。 引理 对 任意 。 妻 ， 当 尸 。 由 、 尸 的组合表 出时 ， 。 的尾符恰表锰一 铝 排 列链 中完整圆之圆心 ， 而 的 尾符恰对应着被叠 圆的圆 心 。 证 因锰一 铝排 列 链生 成 排 列 〔 “ ， “ ’ ， 故 从 。 的 尾符是 而 后所接 字 符 仍是 ， 即 知 尸 尾符必表 完整 圆之心 。 再 由引理 知 只能 与 相邻 ， 故从 二 如 。 。 。 和 刚 才的 讨论 与锰一 铝规 则知 第 、 个字符 。 只能 代表一被叠圆

推论设A=F3=aba,B=F2=ab,fo=B,f1=A,f.=f,-2f.-1,n≥2。则f,中A 之尾符和B的尾符分别表锰一铝排列链中完整國和被叠圆之心故在「.=AB.1ABAB…中 分别以“O”点和A与B的尾符为心作圆，并认定两相邻圆之益部分被先生成的圆所遮 盖，则由此产生的链恰为锰一铝排列链(n+∞时)。 定理1在L;,j=0,±1，±2，…轴上，从点(x1,y)算起，沿正方向结点分布服， 从Fibonacci排列。 证仪对j=0的情形证明即可。因为只有L。轴上任意橱C:周上的第8、9号结点的 连线在L轴上且长度为b(命题1)，而L0与L。轴上，圆C'。与C。之心C'。.。和 C。.。的￥坐标满足（见(2）式) X'0=x。+X8=-(a+b/2)+X8 (3) C8.B=(X'a+a,y%)∈S%,C0.,=(Y'8+a+b,y%)∈S0 (4) (4)成立是因L。轴上接着X':之后的字符总是ab, 定理2在L,j=0,±1，土2，…轴上，从点(×，，y,)算起，沿正方向结点分布服从 Fibonacci排列。 证仅对j=0的楷形证明即可。易知只有L轴上任意圆C':的第3、4号结点在L、 轴上。因此若C。是完整圆，由引理3知C。,o的×坐标为 X。=X-1+(a+b+a) (5) 再山(3)、(4)易推出下述关系式 X':=x+X:=a+b/2+X。-1 (6) C。,=(X'8+b/2,0)=C0.。∈So,C。.4=(X。-b/2,0)=C0.∈So (7) 再若C。是被叠圆，则C。.。与C。.的x坐标分别为 X。=X。-+(a+b);X‘。=b/2+X8-1 (8) C.4=(X。-b/2,0)=(X81,0)=C8.6∈So (9) C8.&=(X:+b/2,0)=(X-1+b,0) (10) 故X:·<X。-1+b<X。-1+a,这说明C。,,被圆C。1遮盖。故C:的第3、4号结点或 属于S。或被C:遮盖。 引理4在L。轴上，由锰一铝排列链形成的Fibonacci排列中，每个字符b的首尾两 个端点各与（且只与）某个圆心在L。轴上的圆C。之周上的第8、9号结点重合。 证由锰一铝链的生成原则，每个字符b只能接在某一圆C。之后，记X.1和X:.2为 字符b首尾端点的坐标，则有X.1=(X'。+a,y),X.2=(X。+a+b,y),再由(3)可依 次推出：C。.0=(X:,0)=(X。-x。,0)=(X。+a+b/2,0)。C:.,=(X:-b/2,y%)= (X't+a,y),C:.,=(X:+b/2,y%)=(X:+a+b,y%)。 定理3对于j=0,±1，±2，"，设L2,是与L2;相距为+asin72°的平行直线。则从 以(x2i,y2)为心的圆周上的第4号结点算起，L,上的结点服从拟-Fibonacci排列a八F, (表F。中删去首符a的排列)，n=1,2,,3,…。 394

推论 设 对 。 。 ， 尸 二 ， 。 二 ， ， 一 八 一 一 ， 。 。 则 中 之 尾符和 的尾符分 别表锰一铝排列 链 ‘朴完整 圆和被叠 圆之 心 。 故在 压璧刁 一 中 分别以 “ ” 点和 与 的尾符为 心作 圆 ， 并认 定两相邻 圆之 毛叠 部分被 先生 成 的 圆所 遮 盖 ， 则 由此 产生的链 恰为锰一 铝排列 链 、 时 。 定理 在 ， 二 。 ， 土 ， 士 ， … 轴上 ， 从 点 川 ， 川 算起 ， 沿 正 方向结点 分 布 服 从 排列 。 证 仅对 的情形 证明即 可 。 因为只有 。 轴上 任意圆 周上 的第 、 号结 点 的 连线 在 么轴 上 且 长 度 为 命 题 ， 而 五 么 一 与 。 轴 上 ， 圆 ‘ 与 之 心 ‘ 吕 。 和 吕 ， 。 的 坐标 满足 见 幻 式 ， 急 劣 台 乙 一 乙 吕二 ‘ 急 ，夕台 任 台 ， 急 。 ， ， 夕 台 任 乙 成立 是 因 乞轴上 接 着 之 后 灼字符总 是 。 定理 在 ，， 。 ， 士 ， 士 ， … 轴上 ， 从 点 ， ， 算起 ， 沿 正方向结点分 布服 从 排列 。 证 仅 对 的情形证 明即 可 。 易知 只有 乙台轴上 任意 圆 ’ 的第 、 号结 点 在 。 轴上 。 因此 若 ‘ 是完整圆 ， 由引理 知 二 ， 。 的 二 坐标为 一 ‘ 再 山 、 易推 出下 述关系式 ‘ 二 二 么十 一 ‘ 二 ‘ 十 ， 忿 任 。 ， 二 ’ 一 ， 犷 任 。 、少‘ ‘了、了吸、 甘 声、 再若 ’ 是被叠 圆 ， 则 二 。 与 ‘ 。 的 坐标分 别为 』一 ‘ 十 一 一 ‘ ， 二 二一 ， 二 占 一 ’ ， 丁占任 ， ， 一 ‘ ， 故 二 一 ‘ 二 一 ‘ ， ‘ 十 ， 这 说 明 ‘ 被 回 厂 ‘ 遮盖 。 故 ‘ 的第 、 号 结 点或 属于 。 或被 二一 ‘ 遮盖 。 引理 在 台轴上 ， 由锰一铝排列链形成 的 排 列 中 ， 每个字符 的首 尾 两 个端点各与 且 只与 某 个圆心在 。 轴上 的圆 二之 周上 的第 、 号结点重 合 。 证 由锰一铝链 的生成原 则 ， 每 个字符 只能接在某一 圆 ‘ 之 后 ， 记 ’ 和 若 ， 为 字符 首 尾端点 的 坐标 ， 则有 言 ， 、 ‘ ， 毛 ， 二 ‘ ， 盆 ， 再 由 可依 次推 出 。 ， ‘ 一 式 ， ‘ 十 ， 。 。 一 ， 么 ， 巴 ， 夕 乞 二 ，夕 忘 ‘ ，夕 石 。 定理 对于 ， 士 ， 士 ， … ， 设 刃， 是 与 ， 相距 为 十 。 的平行 直 线 。 则 从 以 ‘ 了， 夕 ， 为 心的圆周上 的第 号结点算起 ， 犷 ， 上 的结点服 从 拟一 。 。 排列 。 表 。 中删去首符 的排列 ， 二 ， ， ， ， “

证只需对j=0的场合证明即可。易证只有C:的第3、4号结点和C':的第7、10号 结点(n=1,2,…)在直线L6上，再从(4)式和引理4知L。轴上的圆C。上第8、9号结点 连线金体巢合构成了L。轴上Fibonacci排列中的全体元素b,所以注意到命题2后只需证： (A)若dist(C,C:+1)=a+b,则在C:,:和C,连线上恰好没有L1轴上任意圆C'{ 的第7、10号结点。 (B)若dist(C:,C:+1)=2a+b,则在C:.,和C:*:连线上恰好只在中点处有L1轴上 某个圆C1'的一个结点。 (A)的证明：对于”2，因C:必为完整圆而C:1必是被叠圆，且.C:-1也是完整圆。 故行关系： X:=X-1+(a+b+a),X:+1=X:-1+3a+2b;X'11=X:1+(a+b)+(a+b)cos72°， X'i=X:-1+(3a+2b)+(a+b)cos72° (11) 和X11<X:<X:+1<X'1。可见L1轴上与C。,。、C。:距离最近的圆心分别是C16和 C1.。,其距离及结点间关系为 dist(C.,C)=dist(Co,C)=a+b;C/110=C3.3C/i.7=C(12) (B)的证明：此时需分8种情况进行证明 (1)C:是被叠圆，而C:+1是与C:相离的另一对相叠圆中的完整圆。此时可知C:、 C:+1、C1、C；之心的x坐标（注意(11）)及结点间的关系为 Xg=X81+(a+b);X。+1=X&-1+3a+2b (13 X':-1=X。-1+(a+b)(1+cos72°)，X'1=X:1+(2a+2b)+(a+b)cos72°和 C1,=C0.;C1.1。=Ct} (14) 即只有点C'i。=C1.,在C:.,和C}连线的中点上 (14) (2)C:同(1)但C:+1是与其它圆相分离的完整圆，此时尽管C:+'是-一个完整的分离 圆，但(1)的证明完全适于此处。故知(14)、(14)的结论仍真。 (3)C。同(2)中的C*1而C。+1同(1)中的C:+1,此时因C,同(2)中的C:+1,C:+1同 (1)的C:+1,故从(14)知 C11。=C0.;C1.1。=Ct} (15) 即只有点C1.,在C?,和C,!连线的中点上 (15) 定理4对于j=0,±1，±2，…，设L,+1是与L2i1轴相距为+asin72°的平行线。则 从以(x2+1,y2+1)为心的圆周上的第4号结点算起，L:+,上的结点服从拟-Fibonacci排 列a八F.,n=0,1,2,…o 证只需证j=-1的情形即可。与上定理相仿，今证将定理3中的L、L1轴易为此处 的L~1,L。轴后，该定理的(A)和(B)仍成立即可。 (A)的证明：圆C”1、C11之心的×坐标为 X"1=X'+(a+b+a);X'=X:,+(a+b) (16) 由引理2可推出Ct2之心和L0轴上圆C。+2之心的x坐标及结点关系为 395

证 只 需对 的场 合 证明即可 。 易证 只有 刃的第 、 号结 点和 ‘ 飞的第 、 号 结 点 二 ， ， “ · 在直线 言 上 。 再 从 式和 引理 知 。 轴上 的 圆 刃上 第 、 号 结 点 连线 全 体集合构 成 了 么轴上 排 列 中的 全 体元 素 ， 所 以注意 到命题 后只 需证 若 ， ’ “ 十 ， 则在 ， 和 连 线 上 恰好没有 引 轴 上 任意 圆 ‘ 的第 、 号结点 。 若 “ ， 十 ‘ 二 ， 则在 二 ， ， 和 刃扮 连 线 上 恰好 只在 中点 处 有 几轴 上 某个 圆 二 ‘ 的一 个结 点 。 的 证明 对于 。 ， 因 必 为完整 圆而 “ 必 是 被叠 圆 ， 且 犷 ’ 也是完整 圆 。 故有 关系 刃 二一 ’ 二 ’ 二一 ‘ 斗 一 乙 ‘ 二 一 ’ 一 ’ 。 ， 一 ’ “ 和 ‘ 飞 一 ’ 二 千 ’ ‘ 二 。 可 见 ，轴上 与 占 。 、 吕士占距离最近 的圆心 分 别 是 ‘ 犷丢和 ‘ 呈 。 ， 其距离及结 点间关系为 右 。 ， ‘ 丁孟 二 孟士孟 ， ‘ 。 ， 里丁 。 言 ‘ ， ， 孟 十 的 证明 此 时需分 种情况进 行证 明 是 被叠 圆 ， 而 二 ‘ 是 与 相离 的另一对 相叠 圆 中的完整 圆 。 此 时 可 知 、 ‘ 、 ， 飞 一 ’ 、 ‘ 飞之 心的 二 坐标 注意 及结 点’ 的关系为 一 ‘ 二 ‘ ’ 二 一 ‘ 冲 ， 一 ’ 忿一 ‘ 吞 一 。 ‘ 二 二 一 ’ 。 和 ‘ 二万 孟 ， ‘ 丁 。 二士 即只有 点 ‘ 二丁 。 ‘ 飞 ， ， 在 孟 和 犷二连线 的 中点上 ， 口 同 但 二 十 ‘ 是与其 它 圆相分离 的完整 圆 ， 此 时尽 管 ’ 是一 个完整 的 分 离 圆 ， 但 的 证明完 全 适于 此处 。 故 知 、 ’ 的结论 仍 真 。 同 中的 十 ’ 而 二 ‘ 同 中的 ‘ ， 此时 因 同 中的 十 ‘ ， 十 ’ 同 的 ’ ， 故 从 知 ‘ 飞丁 。 二 ， ， ‘ 飞 ， 。 即只有点 ‘ 号 ， 在 急 和 孟 连线 的中点上 定理 对于 。 ， 士 ， 士 ， … ， 设 ，十 ， 是 与 ，、 、 轴 相距 为 。 的平行 线 。 则 从 以 ‘ ， ， ，十 为心 的圆 周上 的第 号结 点算起 ， 宝 ， 曰 的结 点服 从 拟一 排 列 。 ， ， ， ， … 。 证 只需证 一 的情形即 可 。 与上 定理 相 仿 ， 今 证将 定理 中的 。 、 气轴 易为此 处 的 ， ，轴后 ， 该定理 的 和 仍 成立 即可 。 的证 明 圆 兰 、 鱿 ‘ 之 心的 二 坐标 为 二， 筑 ’ 、 二 ’ 竺 由引理 可 推出 结 之 心 和 毛轴上 圆 犷 ’ 之 心的 坐标及结 点关系为

X12=X"1+3a+2b;X'g+2=X"12-x-1+x。=x21-(a+b)cos72° (17) dist(C'a,C1.)=a+b,C0t7。=C1.,· (18) 即在点C1.,和C:,的连线上没有其它结点。 (B)的证明：仍可分(1)、(2)、(3)种情形。 (1)此时C“,与C、C”之心的x坐标为 XX=X+(a+b+a);X2=X+3a+26 (19) 而L:轴上对应的圆C,、C。之心的x坐标为 X'g*2=X"1-(a+b)cos72°，X':+3=X1+(a+b)(1-cos72)+a (20) 故可依次推出 dist(C/,C)=dist(C/3,C1)=a+6:C3+=C13 C。ti。=Ca (21) 即只有C。;在点C”1.和C:4连线的中点上。 (2)此时C、C1、C2之心的x坐标为：X1:X=X:1+2a+b, X12=X,+4a+2b。由引理2知C1之心的x坐标为 Xt3=X,2+(a+b)=Xt1+3a+2b (22) 放！轴上对应的圆C:、C。+之心的x坐标分别是 X',42=X1+(a+b)cos72°，X':+=X11-(a+b)cos72° (23) 从(23)可推出dist(C:t,C1,。)=dist(C:t8,C:。）=a+b和 C。g=C2.4事Ct1。=C1。 (24) 即只有点C。=C；在C1..与C:.连线的中点上。 (3)此时由(23)知C:*2与C,之心的×坐标关系为 X'。*2=X:1-(a+b)cos72° (25) 再从(24)中2式得 dist(C:,C1.)=a+b1 C=C1 (26) 由(19)和(20)中第2式知C与C:+3之心的x坐标是 Xt1=X,+(a+b+a);X':+3=X1+(a+b)(1-cos72)+a (27) 从(21)中第1、8式可推出 dist(C0i,C1!。)=a+bgC0i。=Ct!y (28) 即只有C务在结点C”1.,与C:,连线的中点上。 证毕 今记Ci,,1为C,。与Ci,的连线方向的第i个结点，从而有C.,0=C,o,C:,1= 396

二， ， 乳 二左 ， 一 一 ， 二 ，二 二 竺 一 。 ‘ 孟士盖 ， 二 ， 。 ， ‘ 二士号 。 二， 即在 点 二 ， 和 筑 的连 线 上 没有其 它结 点 。 的证 明 仍可 分 、 、 种情形 。 此 时 二 与 二 一 气 ‘ 、 兰左 ’ 之 心的 坐标为 二， 二飞 ’ 赴 ， 二左 二， 而 飞轴上对应的圆 ， 飞 ’ 、 ‘ 飞 ’ 之心 的 二 坐标为 ‘ 二 二， 一 “ ‘ 屯 ’ 二， 川 一 ” 故可 依 次推 出 ， 认寸落 ， 二， 。 ， 急亡孟 ， 二左 ， 。 ， 益士圣 。 二 ， ， ‘ 飞士 鱿 即只有 ‘ 犷 在 点 二 和 结 连线 的中点上 。 此 时 二， 、 片 ‘ 、 鱿 之心 的 坐标 为 二， 鱿 ‘ 二 二， ， 赴左 二 二 。 十 。 由引理 知 ’ 之心 的 二 坐标 为 二左 ’ 二 笃 十 十 鱿 ’ 十 十 处 琢 故 ，轴 对应 的圆 ’ 丢 干 、 ‘ 丫 之心 的 坐标分 别是 ‘ ‘ 二 兰 ‘ “ ‘ 甚 ‘ ’ 二 ‘ 一 。 从 可推出 ‘ 急士落 ， 兰 。 ‘ 毛 ‘ ， 二左 。 和 · 屯士攀 二 ‘ ， ‘ 急士贾 二大 即只有 点 ‘ 犷釜 二 ‘ 引 在 二， 与 已左 ‘ 连 线 的 中点上 。 此时由 知 ‘ 二’ 与 二 之 心 的 二 坐标关系 为 ‘ 二 ’ 二， 一 。 再 从 中 式得 ‘ 士盖 ， 二 。 二 ‘ 蕊士考 二、 由 和 中第 式知 二万‘ 与 ， 二 十 ’ 之心 的 二 坐标是 二 ’ 万二 ‘ 二 ’ 尤二， 一 。 从 中第 、 式可 推 出 ， 孟 ， 二玄子 。 二 鱿 ’ 即 只有 ， 飞亡拿在结 点 兰， 与 二 连线 的 中点上 。 ︺ 今记 罗 ， 。 ， ， 为 ， 。 与 丁 ， 的连线方向的第 个结点 ， 从而 有 、 ， 。 二 ， 。

C:、,对于C行1，：也赋予同样定义。 定理5对于i=0,士1，士2，…，n>3,设C:,是L2,轴上的一个完整的分离圆，则在以 C:,。为心，a、a+b和2a+b为半径的圆周上：分别在同样的方位上均布着10个结点，即 C:,0是局部5次对称中心。 证只须证j=0的情形即可。易见C,k,:=C&.,dist(C:g,C。.11)=a,k=【, 2,,10,另一方面从(7)中1式依次推出 C3=Ci.g=C。.6.1;C0.6.2=C0=C'8.4;C:.y=C0 (29) C0.7.2=C0,atC0.7.3=C0.7C0.4.1=C.4=C0.1 (30) 因C。'是与C。相距为a的完整圆，故由(7)知G。!=C。:=C:.1.2。再因C:2是被 叠圆，故将(9)中的n换成n+2后：C:.1.3=C:=C:,C:.1.1=C:.1=C和 C8.1.2=C;Ci10.3=C0t1。=C8:G:.,.1=C:.,=Cgt (31) 下面求C:.,i=8,9,k=2,3,因C。也是完整的分离圆，枚C,2、C。1是对相 重圆，其心的x坐标为X':1=X'2+a+b影X:=Xm-2+3a+2,X:1=X'n-2+5a+ 3b。故C2、C1之心的x坐标是（见(17）2式和(23)1式)：X2=X:+(a+b)cos72°， X=X41-(a+b)cos72°，这暗指C"?8=C:.1,C4=C,由这两式与(30)的 式和(31)的3式知 C.,2=C"2,=Ca10tC;.,=C“4=C0: Ci.,3=C2o3Ca.,3=C0 (32) 现在考察C:.k.,2i≤5,1k3,首先因C。、C。*1同定理3中的(B)(3),枚由 (15)、(15)'知 C8.2.2=C1.,}C.2.y=C1.:Ct1.1=C0.3=C10t C;.s.1=Ci.6=C1 (33) 因C】2重叠着C:1,故(33)的4式还暗指 C。.,2=C1}=C11 o1 Ci.s3=C18 (34) 最后确定Ci.,2、C:..、C；4.2、C:.4.。由于C1是一被叠圆，放将(9)中的 C。、C。1换为C11、C1后有C!=C:;C1:!=C:,又因C12重叠着C1‘故 前两式暗指C1=C1:,从(34)、C1:}=C}与(33)的3式联合得出： C:..2=C1=C;Ca..3=C1bsCa,4:=C1=C1 C0.4.3=C1=C1:6 (35) 综上所述，就证明了本定理。 定理6对于j=0,±1，±2，…n>3,设C2,C;'是L:,轴上两个相距为b的完整 圆，则在以C:.、C。为心，a+b为半径所画的两个圆周形成的哑铃形圆周上，均布者 16个结点。 证只需对=0的情形证明即可，因C。必为完整的分离圆而C:1必是完整的重叠圆， 397

， 对 · 于 ‘ 也赋予同样定义 。 ， 士 ， 士 ， … ， 。 ， 设 呈 ， 是 ， 轴上 的一 个完整的分离 圆 ， 定 理 对于 则在 以 孟 ， 。 为心 ， 。 十 和 。 为半径 的圆 周土 ， 分别在 同样的方位上 均布着 个结点 ， 即 二，， 。 是 局部 次 对称 中心 。 证 只须证 。 的情形 即 可 。 易 见 轰 ， 、 ， 急 、 ， 毯 。 ， ， ， 二 口 ， 介 ， ， … ， ， 另一 方面从 ，朴 式 可依 次批 出 少 ， 飞 。 二 毛 。 ， ， 急 。 二 乞 一 卜 ’ 急 ‘ 二 。 导 ， ， ， 二 ‘ 芯 石 。 心 。 。 以 孟 。 产 急 、 一 厂 ， 因 叠 圆 ‘ 是 与 飞相 距 为 。 的完整 圆 ， 故 由 知 、 ‘ 犷 二 毛 ‘ 孟 二 再 因 ‘ 二心 是 被 月 ， 故将 中的 换成 拄 后 名 、 。 二 二 ‘ 二圣 二 二 ‘ 盆 小 二和 毛 ， 。 二 孟 、 。 二 ‘ 犷 。 ‘ 急 公 。 、 益 ‘ 故 ‘ 孟 下 面求 急 。 ， ， ， ， ， 因 ， 急也是完整 的分离圆 ， 重 圆 ， 其心的 坐标为 ， 急 一 ‘ ‘ ” 一 ’ 。 十 二 “ 二 ‘ ’ 一 ’ 十 ， 、 ‘ 二 义 月 一 几 一 是 对相 口 。 故 笃 毛 “ ， 笃 ‘ ， “ 琦 ‘ 玩 ‘ 之 心 的 坐标 是 见 式和 式 鱿 一 “ ， 这 暗 折 ’ 飞 ’ 。 ‘ 认 ， 。 ， “ 飞 ‘ 刁 二 ‘ 犷 ， 由这两式与 的 式 和 的 式知 。 ， ， ” 飞乡 ， 急 ， ， 。 二 。 二 ” 飞 ‘ ‘ 飞 ‘ 性 。 屯 ， ， ， 竺又 。 现 在考察 ，， ， ， 了 ￡‘ ， ‘ 掩一 ， 首 先 因 飞 认 ‘ 同定 理 ， 的 ， 故 由 、 广 知 导 二 ‘ ， ， 二 ‘ 。 ， ， 二 二 ‘ 飞丁 ， 、 奋 。 ， 飞 一 因 ‘ 二 一 重叠 着 ， 一 ‘ ， 故 的 式还 暗 指 二 ， ， ‘ 理丁弄 ， 了节 。 言 ， 二 ‘ 飞 一 盖 最后确定 、 。 、 、 二 。 由于 ‘ 一 ’ 是 一 被叠 圆 ， 故 将 中的 ， 瑞 、 急 一 ’ 换 为 ， 飞 一 ‘ 、 丫 后 有 下 二 丁落 ‘ 飞 一 孟 节丁荟 ， 又 因 下 一 币橇 着 飞 一 ’ 故 前 两式暗指 了丁孟 ， 璧只 ， 从 · 、 呈丁孟 ‘ 翌丁 与 的 式联 合得 出 ， 二 ‘ 飞 一 呈丁 了丁 二 。 ‘ 号 一 乙 一 若 孟… ‘ 万二二 了丁孟 绘 卜所 述 ， 就 证 明 了本定 理 。 定 理 对于 ， 士 ， 士 ， ” · ， 设 ，， 刘 ’ 是 。 ， 轴 上 两个相距 为 的完整 圆 ， 则在 以 二， 。 、 封产 。 为 心 ， 为 半择所 画 的两 个 圆 周形 成 的哑 铃形 圆周 ， 均 布 若 个结点 。 证 只需对 的情形证 明即可 ， 因 二必 为完整的分离圆而 苏 牛 ‘ 必 是 完整的重叠圆

故由定理5巾(29)的2式，(30)的1式，(32)的1式、2式，(31)的1式。2式，(33)的1 式、2式，(35)的1式、3式和(34)的1式知 Ci。g=C0}=C;.yC.1.2=C:.0sCi4.2=C2a=C01oCi.,2=C4=C8; Cit8.2=Ct8=C2tC:=Ci10.3=Ci。=C'09:Ci.22=Ci,=C.23 C2=Ci..a=Ci.gC2=C}=C1,:C.4.2=C18=C18:Cis,2=Ci =Ci。 再求C.2,k=9,10,1,2,3,首先由(15)的2式知C1.10=C、将(7)的1式 h的C、C:易为Ci、C:后依次推出C1.,=C1.6,C.2=Ci.1=C1.·又因C:= C且C:2被C:+1所叠，故C:+2相当于(12)3式中的C:',于是C:=C:.即 C.2=C=Ct;C12=C8,再由于C*1相当于(4)1式中的C,故C!= (X。*1+a,0)=CH。从而C}=C。故可推知C。i0,2=C呈=C。 最后因C:之心的x坐标X。*?可表为X:+2=X'。+3a+2b,而L-1轴上C1之 心的x坐标则是X,=X':+x-1-x。=X'8+2+(a+b)cos72°。故C1,3=C0t0C::,2 =C:,40证毕。 定理7对于i=c,±1，±2，…，n>3,设C2C是L21轴上的一对相叠圆， 则在以C:.、C:。为心a+b为半径所画的两个圆形成的哑铃形圆周上均布着14个结点， 证只需对1=0的情形证明。分两种情况：(A)C。1是完整分离圆，(B)C。1是被 重圆。 证(A):因C。相当于定理5、G中的C。1,故知 Ca.e=1}=C1tC8.42=C0.,=CiyC;.6.2=C1:} (36) Ci.7.:=C;.gtC:..2=G;:0=C6t};Cg,.:=C4 (37) C0.,2*C01=C8.4 (38) 又调C1恰与定理3(A)中的C。+1相符，故易知：C2=Ci.,=C1C；.2=Ci.: C.2=Ci.1。=C1},再由定理2中(7)式和定理1的(4)式得C}=C:C:= C3,Ct:=C。Cat日=C8；Ca.2=Ct8=Ct;C1。,2=C；C0}.2= C0号；C}.2=C1。再从(38)推知C.2=C。 证(B):不论C。2与C61是否重叠，C1.。·Ci.。.C6.,C.。(k=n-1,n+2) 与C:.。,C日的相对位置不变，枚(36)，(37)和(38)式在条件(B)下基本成立。只因C。2 与C。相重，C;2与C1相叠(1=±1)，故C?。=C1,C,=C.2,C12= Ci:。再h(36),(37)式I关系式C,。=C1:。+(a+b)(cos3心°，sin3G),立得到补充的 公式。 C:.4.e=C16=C12=C1:3,C.2=C1。tC8.4,2=C,=C8:。=Cg.78 花：1)对奇数轴L21上的圆，可得到与定理5、6,7相同的结论。因证法相似， 故从略。 2)根据K·Hiraga博士寄给我们的Al-Mn-Si准品高分辨包子显微图7I，还可提出 下面的 A1-Mn-Si排列缝：设F,△ab、F;Aaba。令L为平面上一条直线，取定一点记为O 398

故由定理 中 的 式 ， 的 式 ， 的 式 、 式 ， 的 式 。 式 ， 的 式 、 、 式 ， 的 式 、 式和 终 的 式 知 二 ， 。 言丁 ， 二 ， ， 孟 。 竺玉乎 。 ‘ 二 ， 。 ， ” 玉 、 ‘ 二亡萝 石 、 。 ‘ 急士孟 言寸子 孟 ， 二 导 ， 。 。 ‘ 言 。 ‘ 飞 ‘ 攀 孟 ， ， ， 二 孟亡丢 ， ， ，卜 矛 孟 ， 。 ‘ 号 。 ， 号 一 卜 井孟 ， 二 ， 犷孟 犷盆 ， 。 ‘ 下 二 飞丁子 。 再 求 二少矛 ， ， ， ， 一， ， ， 首 先 由 的 式 知 ‘ ， 。 急 牛 互 ， 将 的 式 中的 ， “ ， 孟易为 ‘ 后 依次 推 出 ‘ 宝 二 。 ， 石士 、 ‘ 、 。 ， 又 因 孟 平 鑫 二亡孟且 孟 卜 “ 被 石 一 卜 ’ 所叠 ， 故 二 十 ’ 相 当于 式中的 右 」 ’ ， 于 是 急 刁 二 ‘ 二士 、 即 犷姿 、 二 犷二 ’ 犷吞 犷 ， 犷盆 ， 再 由于 犷 ’ 相 当于 的 式 中的 孟 ， 故 针 二 ‘ 飞 一卜 ‘ ， ‘ 二士 。 从 而 孟寸 ‘ 毛才孟 。 故可推知 孟 。 二 ‘ 飞士考 石盖 。 最后 因 ’ 犷 之 心 的 坐标 戈 ‘ 犷 可 表 为 ‘ 犷 ‘ 飞 十 ， 而 轴 上 卜 之 心 的 坐标则 是 竺， ‘ 二 一 ， 一 ，二 ‘ 急 ’ ‘ 。 。 故 竺， 。 ‘ 急士圣 。 言 十 李 ， 二 竺、 ， ‘ 。 证毕 。 定 理 对 于 ，二 。 ， 士 ， 士 ， … ， ， 设 升 ， 到 ’ 是 ， 轴 上 的 一 对相叠圆 ， 则在 以 ， 。 、 井 ，。 为心 。 为 半径所 画的两个 圆形成 的哑铃形 圆周上 均 布着 个 结点 ， 证 只 需对 ， 。 的情形 证明 。 分 两 种洁况 二 一 ’ 足 一 完整分离圆 ， 屯 一 ‘ 是被 重 圆 。 证 因 相 当于定理 、 中的 犷 ’ ， 故 知 ， 公 艺孟， 芯 。 导盆 ， ， 宝丁 二 。 ， ， 卜 飞丁咨 ， ， 二 ， 。 ， 言 口 ， 号 。 二 犷 芯 。 笃 “ 二… “ 犷 ’ 急 ‘ 又 因 犷 恰 与定理 中的 犷 ’ 相符 ， 故 易知 犷二 二 ‘ 履 ， 。 犷孟 孟括 二 ， 号 ， 。 刮二 二 飞 ， ， 。 二 ， 犷 。 再 由定理 中 式 和 定 理 的 式 得 忿 ‘ 二 ， 犷补 犷若 ’ 犷卜 心寸卜 ， 犷卜 氏 ‘ ’ 剖 一 卜 犷 歇笼 ， 犷遥 矶士 。 ， 了认 心弓 ’ 飞寸子 盆士孟 ‘ 笼 。 。 再 从 推知 二士孟 二万产 ，。 汪 不论 孟 一 与 石 一 ‘ 是 否 重叠 ， ‘ 。 。 、 ‘ ， 二 二 。 寿二 ” 一 ， 与 言 。 扩 的相对位置不 变 。 故 和 式 在条件 下基 本成立 。 只 因 ‘ 毛 一 ’ 与 ‘ 飞 一 ‘ 相重 ， 一 ， 与 少 一 ‘ 相叠 二 士 ， 故 ‘ 了 。 ， 一 ， 笃 二 ” 下 ’ 。 ， 冷 ， 丁矛 。 再 由 式 和 关系式 了丁孟 ‘ 孟 白 “ ， “ ， 立 得到 补充的 公 式 。 急 ， ‘ ‘ 号丁乙 了丁 二 呈 若 孟 。 ‘ 飞万节 。 ， 屯 ， ‘ 几 ’ ‘ 屯丁 。 ‘ 急 ， ， 。 注 对 奇数轴 乙 ， ， 、 上 的圆 ， 可 得 到 与定理 、 相 日的结论 。 因 证法相似 ， 故 从略 。 根 据 · 博士 寄给 我 们 的 一 一 准 品高分 辫 包子显 微 图 〔 ” ， 还 可 提 出 下 面 的 卜 一 排列链 设 △ 。 、 会 。 。 令 为平而上 一 条 直线 ， 取 定一 点 记 为

1正方向，称以O为心a为半径的圆在L正向上按A1-Mn-Si排列链生成一簇圆，若圆心 位置分布为 F2F3F3F2F3FsF2FsF3F2F3F3F3... 用A1-Mn-Si链按1节的方法（注怠(1）、(2)式)可构造川另-一种准晶格的数学模型。北 基本特征仍可用本节的定理5、6、7刻划。但定理1、2中的“服从Fibonacci排列”应 i改为服从A1-Mn-Si排列：①(ab)(aba)(aba)(ab)(aba)(aba)(ab)(aba)(aba)(ab)… 3关于数学模型的解释 由于正二十面体诸顶点在平面的投影是是环状均布的11个结点(1个是中心)。故本 模型中的各个结点均属于相应的正二十面体。从而此模型实际上将锰-铝谁晶的HERM中 现的奇妙景象与正二十面体联系了起来（借助锰-铝链)。并定量地给出各个结点在平面位 置的表达式，且达到了局部完全一致，大范围内基本相似的程度。也将构成讨论高维模型的 基础。 本模型光学变换的几何特征与实验准晶中的光学变换特征非常相近，详文待发表。 致谢：本研究得到科研处和数力系科研经费的资助。中国地质大学北京研究生部彭志忠教授、施倪承刚数授， 本院李宗元、苗柏和鹏教授等与作者进行过有益的讨论：中科院金属所何安强同志为本模型作了光学变换：日本东北大 学K,Hrag1兼授提供了有价做的研究资料、在此一并致以诚挚的谢意。 参考文献 1 Shechtmen D,ct al,Phys,Rev,Lett,1984;53(20):1951 2彭志忠.地球科学，195：104：59 3 Hiraga K,el al.The Science Reports of the Research Institutes Tohoku University,1985;32 2 Ser.A:309 4 Nelson D R,ct al.Science,1985;229 4710:233 5闵乐泉等，数学的实践与认识，1987，(1)：15 6闵乐泉等。科学通报，1986,31：15：1199 7 Hiraga K,et al.Proc.Ist.Int.Symp.Science on Form,University of Tsukuba,1986:621 ①与锰一船携队规测相伤.我们仍假定在：“A1-MnSi链”小每对相叠圈重叠部分披先生成的圆所速盖。 399

和 正 方向 ， 称以 为心 。 为 半径 的圆 在 正 向 按 入 一 一 ， 排列链 生 成一 簇圆 ， 若 圆 心 位 置分 布为 尸 … … 用 一 一 链按 节 的方法 注意 、 式 可 构 造 出另一 种 准晶格 的数学 模 型 。 笨本 · 特征仍可 用木节 的定理 弓 、 、 刻划 。 但 定理 、 ，卜一每勺“ 服 从 排 列 ” 应 改为服 从 一 一 排 列 ① 。 … 关于数学模型 的解释 由于正二 十面 体诸 顶点在平面 的投 影是呈 环状 均布的 个结 点 个 是 中 心 。 故 本 模型 中的各个结 点均属 于相应的正 二 十面 体 。 从 而此 模型实际 上将 锰一 铝准 晶的 中出 现 的奇妙 景象与 正 二十面 体联 系 了起来 借助锰 一 铝链 。 并定量 地 给 出各 个结 点在平 面 位 置的表达 式 ， 且达到 了局部完全 一 致 ， 大范围 内基本相 似的程 度 。 也将 构 成讨论高维模型 的 基础 。 本模型 光学变 换 的几何特征 与实验 准 晶 中的 光学 变 换特 征 非常 相近 ， 详 文 待发 表 。 致谢 本研 究得 到 科 研处 和 数力 系科研经 费的资助 。 中国地质大学 北 京研究生部 彭志忠教 授 、 施 倪承副教授 ， 本院李宗 元 、 ’ 柏和 副教授等与作 者进 行过有益的讨论 ， 中科院 金属所 何安强 同志为 本模型作了光 学 变换 ， 日 本东北 大 学 。 教授 提供 了有价值的 研究资料 ， 在此 一 并 致 以 诚 华的 谢 意 。 参 考 文 献 ， 妙 ， 彭志 忠 地球科 学 ， 尸 ‘ ， ， 。 ‘ ， ， ， ， 阂乐泉等 数学 的实践 与认识 ， ， 阂乐泉等 科学通 报 ， ， 国夕 了 ， “ ， ， 沪 与锰 一 铝排队 规侧 相仿 ， 伐 们 仍 假 定 八 “ 人 一 一 二链 ” ‘卜冻对相受 圆重 叠 部分 被 先生 成的 团所遮盖 ·