一类抛物型分布参数系统最优控制的研究

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.01.011 北京钢铁学院学报 第9卷，第1期 Journal of Beijing University Vol.9 No.1 1987年1月 of Iron and Steel Technology Jan,1987 一类抛物型分布参数系统最优控制的研究 齐润德瞿寿德 朱广田 (北京钢铁学院自动化系) (（中国科学院系统科学研究所) ，摘 要 木文通过分析线性微分算子4的特征，应用列繁算子半群的性质和毕卡达定理， 证明了二次性能指标泛函下一维扩散过程混合线性最优控制的存在性，参照文献[】， 具体给出了最优控制律，并且就文献1,2】所讨论的结果，作为两种特殊情况进行了 验证。 关键词：分布参数系统。最优护制。抛物型偏微分方程 The Study of Optimal Control for Some Parabolic Distributed Parameter Systems Qi Runde Qu Shoude Zhu Guangtian Abstract This paper proves the existence of mixed linear optimal control in a qu- adratic criterion,by analysing the characteristics of linear differential opera- tor A and using the properties of semigroups of compact operators and Picard theorem,for one-dimensional diffusion processes.And then,according to the reference(3),the optimal control law has been given in detail.Besides, the results given in the references(i-2are discussed as the special cases in the paper. Key words:distrbuted parameter systems;optimal control;parabolic partial differential equations 1986-02-27收稿 73

第 卷 ， 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 ， 农 ， 年 月 。 一类抛物型分布参数系统最优控制的研究 齐润德 瞿寿德 北京钢铁学院自动化系 朱广 一 田 中国科学院系统科学研究所 摘 要 木文通过分析线性微分算子人的特征 ， 应 用列 紧算子半群的性质和 毕卡达定理 ， 证明 了二次性能指标泛函下一维扩散过程混合线性最优控制的存在性 ， 参照文 献【 」， 具体给出了最优控制律，并且就文献 ， ， 所讨论的结果 ， 作为两种特殊情 况进 行 了 验证 。 关键词 分布参数 系统 最优控制 抛物型偏微分方程 ” “ ， · ， 一 〔 〕 ， ， ， 。 〔 一 〕 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．01．011

前 言 由常微分方程（或方程组）描述的集中参数系统，状态空间为有限维，最优控制的研究 由Pontryagin的极大值原理和Bellman的动态规划给出了漂亮的结果。然而，自然界中的 物理系统，本质上都是分布的，当要求对系统的动态特性更精确地描述和更有效地控制时， 成为由偏微分方程（或方程组）表述的分布参数系统，状态空间为无穷维。和有穷维空间比 较，无穷维空间有很多本质上的特点，一般的分布参数系统控制问题难于从数学上进行讨 论，而具体类型的研究则可以得到便于应用于实际的结果。本文就二次性能指标泛函的热传 导过程、扩散过程等由一维线性抛物型方程描述的系统最优控制问题，在包含分布控制和 边界控制两者混合控制的情况下，证明最优反馈控制的存在性；参照McGlothi的结果(3)， 给出最优控制律，然后通过特殊情况讨论的结果〔1,2)加以验证。 1数学模型 我们选取通常意义的Hilbert:空间L2〔0，】〕为状态空间。对于一般的一维热传导、分 子扩散等物理过程，考虑到内部能源，如在铁水中吹入氧气、发生化学反应，电流在导体内 产生的热效应等，并且把非线性边界条件线性化，得到系统的数学描述一一规范化的抛物型 偏微分方程： u(t,x)=a02u(t,x)+bfo(t,x）(t,x)∈〔0，T)×〔0,1) at ⑦x2 au(t,0)+B:u(t0)=b:f:(t) Ox t∈〔0，T) (1) aau (t,1)+B:0u(tl)=bafa (t) u(0,x)=uo(x) x∈〔0,1) 其中a、b、a1、a2、B:B2、b、b2均为常数，且a>0,在实际物理过程中，边界条件 是独立的，且不论对于哪一类边界条件，均有： a1a2≥0y BB2≤0ya2B:-aβ2≤0 (2) 成立，因此得到： a2B1-a1B2-aia210 (3) 或BB2+0 (4) 至少有一式成立。 初始状态“o(x)是有界函数： Iu(x)1=〔∫1o(x)1ax)≤M (M>0) 设： f(t,x)=col〔fo(t,x),f:(t),fa(t)〕 (6) 容许控制集合为： U.a={f(t,x)|f(t,x)=F(t,x)u,F（t,x)有界， “属于系统方程(1)的解集合} 74

， 前 ，目一目口 曰 公口 由常微分方程 或 方程组 描述 的集 中参数系统 ， 状态空 间为有限维 ， 最优控制 的研究 由 的极大值原理和 的动态规划给 出了漂 亮的结果 。 然而 ， 自然界 中 的 物理 系统 ， 本质上都是 分布 的 ， 当要求对 系统 的动态特性更精确地描述和 更有效地控制时 ， 成 为 由偏微分 方程 或方程组 表述 的分布参数 系统 ， 状态空 间为无 穷维 。 和 有穷维空 间比 较 ， 无穷维空 间有很多本质上 的特点 ， 一 般 的分布参数 系统控制 问题难于从数 学 上 进 行讨 论 ， 而具体 类型 的研究 则可 以 得到便于应用 于实际 的结果 。 本文就二次性 能指标泛 函 的热传 导过 程 、 扩散过程等 由一维 线性抛 物型 方程描述 的系统 最优控制问题 ， 在包 含分 布 控 制 和 边界控制两 者混 合控制 的情况 下 ， 证 明最优反馈控制 的存在性 参照 的结 果 〔 〕 ， 给 出最优控制律， 然 后 通过特殊情况讨论 的结果 〔 ’ 〕加 以验证 。 数 学 模 型 我 们选 取通 常意 义 的 空 间 “ 〔 一 ， 〕 为状态空 间 。 对 于 一般 的一维热传导 、 分 子扩散等物理过 程 ， 考虑到 内部能源 ， 如 在铁 水 中吹 人氧气 、 发 生化学反 应 ， 电流在导体 内 产生 的热效应 等 ， 并且把非线 性边界条件线性化 ， 得到 系统 的数学 描述－ 规范化 的抛物型 偏微分 方程 』竺互上三 “ ， 么 口 ， ， ， 〔 〔 ， 〕 〔 ， 〕 ， 日 二 ， ， 〔 〔 ， 〕 ， ， 。 火 ， 二 任 〔 ， 〕 其 中 、 、 卜 、 日卜 日 、 ，、 均 为常数 ， 是 独立 的 ， 且不论对 于 哪 一 类边界 条件 ， 均有 七 ， 日 泣日三 。 成立 ， 因此 得到 日 一 ，日 一 ， 今 或 日 ，日 今 至 少有 一式 成立 。 初始 状态 。 是 有界函数 且 ， 在实 际物理 过程 中 ， 边 界条 件 日 一 日 三 〔 、了矛、 丁 一 ， ， 〕 ‘ “ 三 设 ， 二 〔 ， ， ， ， 〕 容许控制集合 为 。 ， ， 二 ， ， ， 有界 ， 属 于 系统 方程 的解集合

这里F(t,x)是向量，F(t,x)=co1〔Fo(t,x),F1(t),F2（t)〕，其中每个元 素均为作用于系统状态“上的有界积分算子。 根据实际过程的物理要求，作二次型目标泛函如下： J(o,,)=合∫J;u(T,x)Q(Tx,3)u(T,y)dxdy +合∫∫：J:u(,z)Q(,)u(,y)xdydt +∫∫：，x)xe +合∫：(x,(t)+rf9(t)dt (8) 3 其中Q(t,x,y)有界，且关于x、y是半正定对称函数，t∈〔0，T〕，rr1、r2均大于 0,最优控制问题是在满足系统方程（1)的条件下，寻找f·∈U.4,使得： J(0,uo,f)minJ(0 ,uo,f) (9) fEU. 即：已知过程的初始状态分布uo(x),在容许控制集合U,中寻找最优控制f·,使得系统 状态偏差在整个控制区间内及终了时刻均最小，并且能耗最少。 2 最优控制问题的讨论 2.1.最优控制的存在性 设：fb(t)=col〔f,(t),f2(t)〕 (10) 方程(1)的解为： u(t,x)=V(t,x)+G(x)fp(t) (11) 当(3)式成立时取 G(x)=aBB:-a(b (ax-(al+Ba))b (x8)) 1 (12.a) 否则取 Gx)=〔(1-奇)，〕 (12.b) 在L2〔0,1)上定义算子A Av(x)-a-di d2v x) x2 D(A)={v(x)Iv(x),v'(x),v"(x)∈L2〔0,1〕： av(0)+A:y020,aw(1)+B.2=0} 将(11)式代入(1)式，通过算子A可得到发展方程： V(t)=AV(t)+bfo(t)+G"E (t)-Gf (t) t∈〔0，T〕 V(0)=u0-Gfb(0) (13) 75

这 里 ， 是 向量 ， 一 ， 二 “ 。 〔 江 ， · · ， 〕 ， 其中 每 个 元 素均为作用于系统状态 上 的有界积分算子 。 根据实 际过程 的物理要求 ， 作二次型 目标泛函如下 。 ， 。 ， 李 ’ ’ 。 ， ， ， 。 ， 艺 合丁 丁 十 令丁汀冲 ， ， ， 二 ， ， 于丁 ‘ 一‘ ’ “ ， ‘，“ ， ’ ‘ 其 中 ， ， 有界 ， 且关 于 、 是 半正定 对称 函数 ， 〔 〔 ， 〕 ， 、 、 均 大 于 ， 最优控制 问题是 在满足 系统 方程 的条件下 ， 寻找 〔 ， 使 得 ， ， 二 ， ， ‘ 〔 。 即 己知 过程 的初始状态分布 。 ， 在容许控制集合 。 中寻找最优控制 ， 使 得系 统 状态偏差在整个控制 区 间内及终 了时刻 均最小 ， 并且能耗最少 。 最优控制问题的讨论 最优控制 的 存在 性 设 、 〔 ， ， 〕 方程 的解为 ， 一 ， 当 式成立 时 取 日 一 口 一 〔 一 日 ， 一 刀 〕 否则取 。 ， 、 产 ， “ 、 、 访 气 一 一下了一一 一 一气刃下一 ， 不 下 了一 、 、 艺 乙 尹 在 “ 〔 ， 〕 上定义 算子 二 ， 、 产 ， ， 〔 “ 〔 ， 〕 廿 ‘ 、 ， 刀 ， 刀 将 式 代 入 式 ， 通 过算子 可 得到 发 展方程 ’ 一 。 一 〔 〔 ， 〕

其中G0=1Gx),由(12.a)、(12.b)知，G、G在〔0,1)上有界。 dx2 对于Sturm一Livioulle?算子A,由文献〔4)，.有 引理1.线性微分算子A是L2〔0,1〕上的 (1)自共轭算子， ,(2)闭稠定算子， (3)有可列无穷多个特征值，且至多有有限个为正。 引理2，线性微分算子A是L2(0,1)上某一单参数强连续半群的无穷小母元。 证明：设算子A对应特征值入：的特征函数为e:（i=1,2,…),{e}构成L2(0,1)的一 个完备正交基。 oc 任给V∈L2(0,l),V=,Σa1e i✉1 由引理1，设o=max{:},1:€P。（A),i=1,2,… 则〈AV,V）=,2:Ia:l≤o〈V,V) i=1 取>①，则A∈P。(A) ((I-A)V,V)≥(-o)(V,V) 令(I-A)V=y,代入上式 1y1≥(i-o)IV} ：1I-A)11≤。 1∈p(A) 由Hille-一Yosida定理5)，结论成立。 设A生成的单参数强连续半群为：S(t)=e“,那么，方程(13)的解为： V(t)(o-Gf(G ()-Gf())dr (14) 定理3.设f∈Uaa,则方程(1)的解存在，且表述为： u(t)=eAuo+cebfo ()+(eG-Ae(G)f())dt (15) 证明：将(14)式代入(11)式并分部积分得到： (t)=ccfo ()+(cG-Ac-G)f()d (16) 由(6)、(7)和(10)式知： f)-〔数门 =F(t)u(t)=IF(t)u(t) 因此 fo(t)=〔1,0,0F(t)u(t) )-[80()u6t)-0,P()u） (17) 76

其 中 刀 由 、 知 ， 、 ， 在 〔 ， 〕 上有界 。 对 于 一 算子 ， 由文献 〔 〕 ， 有 引理 线性微分算子 是 “ 〔 ， 〕 上的 自共扼算子， 闭稠定算子， 有可列无穷多个特征值 ， 且至 多有有限 个为正 。 引理 线性微分算子 是 “ 。 ， 上某一单参数强连续半群 的无穷小母元 。 证明 设算子 对应特征值久 的特征函数为 ， ， “ · ， 构成 名 。 ， 的 一 个完备正交基 。 ‘ 丫 任给 〔 “ ， ， 刃 艺 · ， 由引理 ， 设 。 林 ， 久， 〔 。 ， 二 ， ，… … 则 ， 》 艺 久 ， 三。 ， 取久 。 ， 则久〔 。 久 一 ， 七 久一 。 ， 》 令 赶 一 二 ， 代入上式 七 久一 。 朋 井 久 一 一 ， 兰十毕 久〔 。 几 一 田 由 一 定理〔 〕 ， 结论成立 。 设 生成的单参数强连续半群 为 二 ’ 人 “ ， · ’ “ 一 “ “ ，， · 一 丫 ， 那么 ， 方程 丫 ’ 、 下 的解为 一 ‘ 丫 丫 定理 。 设 〔 ， 则方程 的解存在 ， 以 一 丁 〔 卜 。 · ‘ 。 且表述为 ‘ ’ 一 ，， 人 ， 一 ‘ ’ 一 ，， 人 下 〕 证 明 将 式代入 式并分部积分 得到 以 。 丁 〔 卜 · ‘ 。 · 卜 · 卜 一 一 · 卜 · ‘ · 〕 · 由 、 和 式知 二 厂 。 ’ 勺 。 、 吸 产 因此 〔 ， ， 、 〕 ‘ 〔 〕 ‘ ，，· ‘ ， 一 〔 “ ， ‘ 〕 ‘ ，，· ‘ ，， 了 尹、夕、厂

将（17)式代入（16)式，得到方程(1)的等价方程： u(t)=ea0+∫(eb(1,0,0]+(enG-Aem-G(0,)} F(t)u(t)d (18) 根据eA、Ae的列紧性c6),设： I(et-wb〔1,0,0)+(et-)aG"-Ae-)AG)〔0，I))F(t)‖≤L (L>0) (19) 则：目un+1-un|≤Lt‖un+1-un‖=eIun+1-un日 其中ε=Lt,当〔0，t)分割为一些小的区间时，e<1,根据毕卡达定理，迭代法收敛， 方程(18)的解存在，且由(15)式表示。 同理，从(18)、(19)两式易于得到： 引理4.若(5)式成立，则方程(1)的解集合有界，容许控制集合U,4有界；且均为弱列 紧集。 定理5，在系统方程(1)和(5)式的约束下，指标泛函(8)式的最优控制是存在的。 证明：取指标泛函(8)式的极小化序列任n,{f}CUa, 由引理4， f.→f,f∈Uab 即：fonW+fo,fb。用→f。 根据eA、Ae·A的列紧性(6)知l: etAbfon中e'bfo' (eAG-AeAG)fpn etAG"-AetAG)fp" 代人（15)式可得： un中u 因为F有界，由(7)式知： fn中f" 又Q(t,x,y)有界，则 un (t,x)Q(t,x,y)un(t,y)u(t,x)Q(t,x,y)u (t,y) 0,o,n)=号∫J:(T,x)Q(T,xy)…(T,y)dxy +号∫J:(t,x)Q(t,x,y)(t,y)dxdt +号∫∫：o2(t,x)dxdt +合∫(rf2)+fw)at=0,o,f） 结论成立 2.2.最优控制律 定义：wx(v)=col〔v(o),v'(o),v(1),v'(1)) 当(5)式中M取足够大时，参照文献〔3)得到系统方程(1)的闭环最优控制律： 77

将 式代 人 式 ， 得到方程 · 一 产以 · 。 丁 卜 下 · 〔 下 下 根据 气 卜 ‘ 的列紧性〔 〕 ， 设 ‘ ’ 一 ，， 〔 ， ， 〕 的等价方程 ， 〕 ‘ ’ 一 ‘ ， 人 一 “ 一 ” 人 〔 ， 〕 ‘ 七 一 ，， “ ’ 一 “ 一 ‘ ， 人 〔 ， 〕 ， 三 则 一 。 三 一 。 。 ‘ 一 。 其 中。 二 ， 当 〔 ， 〕 分割为 一些小 的区 间时 ， 。 ， 根据毕卡达定理 ， 迭 代 法 收 敛 ， 方程 的解存在 ， 且 由 式 表示 。 同理 ， 从 、 两 式易于 得到 引理 若 式成立 ， 则方程 的解集合 有界 ， 容许控制集合 有界， 且均为 弱 列 紧 集 。 定理 在系统 方程 和 式 的约束下 ， 指标泛 函 式的最优控制 是 存在 的 。 证 明 取指标泛 函 式的极小化 序列 ， 。 。 ， 由引理 ， 。 工、 ， 任 、 即 工， · ， 工， 。 ， 根据 ’ 人 、 ‘ “ 的列 紧性 〔 〕知 ’ 。 牵 ’ 沙 “ 一 人 ‘ 峥 “ “ 一 ’ 人 ’ 代 入 式可 得 办 因为 有界 ， 由 式知 。 睁 又 ， ， 有界 ， 则 。 ， ， ， 。 ， 一 中 ‘ ， ， ， ， 【 ， ’ 兜 ， 一‘ · ，二 李丁 十 李丁 一 十 令丁 号丁 丁 二 ， ， ， ，· ’ ， ’ 丁 一 ， · ， ， ， 二 、 ， 丁 ‘一 ， 二 ， “ ， ， 结 论成立 最优 控 制 律 定 义 〔 ， 、 ‘ ， 、 ， ‘ 〕 当 式 中 取足 够大 时 ， 参照文 献 〔 〕 得到 系统方 程 的 闭环 最优 控制 律

fo(t)p(tyu(td ,(t)=4b〔ta,-t,-t4,t)∫.p,)u,ydy(20) r f:(t)=ab((P(t))u(ty)dy 这里R=〔t1〕4X2,且满足： C。&AR1 由系统方程(1)和目标泛函(8)得到： C= I-a (20)式中积分核P(t,x,y)关于x、y是半正定对称的，满足如下Riccati方程： P(tx,y)=-a02PCt,x,y）-a02Ptx,y）-Q(t,x,y) ot 0x2 0y2 P(t)P(tzy)de +Wy(P (t,x,))CRBRi'BR'C'wx (P(t,,y)) aP(t,o,y)+B:OP(toy)=0 (21) asP(t,l,y )+B (ty=0 aP(t,x,0)+B,P(t,x,0)=0 aaP (t,x,1)+B:OP(tx1)=0 P(o,x,y)=Q(T,x,y) 因为Q(t,x,y)t∈〔o,T)有界，则P(t,x,y)有界。 2.3例题验证 例11). 0u(t,x)=02u(tx）+f(t,x)(t,x)∈〔0，t:)×〔0，x:〕 at 0x2 {au (t,x)-ouxx0tEcot u(0,x)=u0 x∈〔0，x,] 0,uo,0=号∫x∫.u(tx)s(xy)u(t,y)xdy 78

， “ 一 上 ， ， ， ‘ ， 、 竺鱼 。 十 。 一 ， ， 一 ，， ， 。 门 ’ ， 。 二 ， ， 一 ’ 、 丝生 〔 ， 一 ， ， 一 ， 。 〕 ‘ 二 · ， ， ， 〔 〕 ‘ 义 ， 且满足 … 了、、、 这里 勺 · 方 尸 氏 二厂从 由系统方程 和 目标泛 函 得到 一 ” 〔 ， 〕 ， 〔 〕 一 式 中积分核 ， ， 关 于 、 是 半正定 对称 的 ， 满足 如下 方 程 旦旦至土立三业 一 二 一 ， ， 一 ， ， 一 ， ， 十 上 ’ ， ， ， ， ‘ ， ， ， ， 日 ， ， 口 ， ， 口 ， ， 口 ， ， 口 · 云 ‘ ‘ ‘ ， · ， ， ， 日 ， ， 日 二 ， ， ， ， 二 ， ， 因 为 ， ， 〔 〔 ， 〕 有界 ， 则 ， ， 有界 。 例题验证 例 〕 口 ， 口 · ， ， 二 旦竺生业 叫 竺三 ， 口 ‘ ， 〔 〔 ， 〕 〔 ， 。 〕 ， 口 、 一。 ， ， “ ” 〔 〔 ， ， 〕 了 任 〔 ， ， 〕 ， ， 二 牛 。 ， ， ，

+∫f〔.∫ut,x)Q(x,)ut,y)dxd+Rj,2(t,)dxJdt 由(20)式得到最优控制律： f(t,x)=-0∫，P(tx,y)u(,y)ay 例2(2). au(t,x)=日2u(t,x) 0t” 0x2 (t,x)∈〔0，t:〕×〔0,1〕 ou (t,x) 0x x=0=aCu(t,0)-f(t)〕 ou (t,x) t∈〔0，t:) Ox x=10 u(0,X)=u0 X∈〔0,1) J(0,o,D=号J:2(tx)x+号∫f(t)t 由(20)式得到最优控制律： f(t)=-a SiP(t,o,y)u(t,y)dy 我所得到的结果分别与文献〔1、2〕中导出的结果完全一致。 3 结 论 治金生产中的炼钢，钢锭均热，钢坯加热；国防与化学工业中的核反应堆，扩散等过程， 广泛存在着以抛物型方程描述的二次型控制问题。本文的结果为实现此类过程的最优控制提 供了理论依据和控制策略；另文将给出此类问题的计算方法和计算机辅助设计程序包(7)。 两者结合，可为分布参数系统理论应用于工业生产提供系统分析设计方法和实时控制方案。 参考文献 1 Sage,H.P.,Optimum Systems Control,1st,ed,Prentice-Hall (1968) 〔2〕金井，计测自动制御学会论文集，12（昭.45) 3 McGlothin,G.E.;Int,J.Contral 20 1974) 〔4)那依马尔克：线性微分算子，科学出版社(1964) [5 )Kato,T.;Perturbation Theory for Linear Operators,Springer Verlag, New York 1966) 〔6〕瞿寿德，齐润德，朱广阳：钢坯加热过程中的一个控制问题，（待发表） 〔7〕齐润德：分布参数系统的计算机辅助设计，（待发表) 79

’ 件， 厂 厂 ， 、 。 ， 丁 、 ， 、 ， 。 ， 。 ， 、 ， 、 ， 十 一二一 砚 ’ 又 ， 只 气 ， 气 了 冤 ‘ 乙 、 护 ，产 由 式得到 最优控制律 ‘ ， 二 一 十 “ ， ， ， ‘ ，， ， 例 〕 口 ， 矶 ， ， 〔 〔 ， ， 〕 〔 ， 〕 二 〔 ， 一 〕 〔 〔 ， ， 〕 卜， 二，巨口 口 … ， 口 ， 口 ， 〔 〔 ， 〕 。 ， 。 ， 二 一 塔一 ’ 。 ， ， 二 二 上 ’ ‘ 忿 匕 。 由 式得到最优控制律 一 孟 ， ， ， 我 们所 得到 的结果分别与 文献 〔 、 〕 中导 出的结果 完全一 致 。 结 论 冶 金生产 中的 炼钢 ， 钢锭均热 ，钢坯加 热 国防与化学工 业 币的核反 应 堆 ， 扩散等过程 ， 广泛存在着以抛物型方 程描述的二次型控制 问题 。 本文 的结果 为 实现此 类过程的最优控制提 供了理 论依据和控制策略 另文将给 出此 类 问题 的计算方法 和计算机辅 助设计程 序 包 〕 。 两 者结合 ， 可 为分布参数 系统理论应 用 于工 业 生产提供系统分析设计方法 和实时控制方 案 。 参 考 文 献 〔 〕 ， ， 琪 丫 ， ， ， 一 〔 〕 金 井 计测 自动制御学 会论文集 ， 昭 〔 〕 ， 了 〔 〕 那 依马尔克 线性微分算子 ， 科学 出版社 〔 〕 ， ， ， 〔 〕 瞿 寿德 ， 齐润德 ， 朱广 田 钢 坯加热过程 中的一 个控 制 问题 ， 待发 表 〔 〕 齐润德 分布参数 系统 的计算机辅 助设 计 ， 待发 表