D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1990.06.034 北京科技大学学报 第12卷第6期 Vo1.12No,6 1990年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov,1990 变换自然方阵生成任意阶幻方 黄国华* 摘要：通过对自然方阵进行极其简单的变换、最多只须四步便可生成任意阶幻方。 关键词：对换，半旋，配对数 . To Get Magic Squares of Order n by Half Turning Huang Guohua ABSTRACT:A magic square of order n is a nxn matrix whose elements are positive integes of I to n2 and such that sum over each row,each column or each diagonal is equal to n (n*n+1)/2.A kind of method of magic squares construction is considered.From auxilliary matrix by so called half turning.We can get a magic square of order n though at most 4 steps. KEY WORDS:half turning,half spinning,coordinate number 将从1到n2这连续n2个自然数排成一个n×n方阵，若其各行、各列及各对角线上元素 之和均相等，则此方阵称为”阶幻方。本文讨论从阶自然方阵开始，通过极其简单的变换， 生成n阶幻方的方法。 1自然方阵的性质 将1一n2这”2个连续自然数按自然顺序排成如图1所示的方阵，叫自然方阵。n阶自然 方阵的性质，我们有如下几个引理： 引理1：n阶自然方阵n2个自然数之和为n2(n2+1)/2,若能变换成n阶幻方，叫每行每 1990一01一06。收稿 ·机械工程系(Dcp2 rtment of Mech2 nical Engineering) ·591·
、 、 ， 第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 ’ 变换 自然方阵生成任意阶幻方 黄 国 华 ‘ 、 、 摘 要 通过 对 自然 方阵进行极其 简单的 变 换 、 最多只 须 四步便可 生 成 任意阶 幻 方 。 关键词 对 换 ， 半旋 ， 配对 数 万 夕 “ ‘ 夕考 火 ， 扭 。 来 ， ， 、 、 将从 到 。 “ 这连续 。 个 自然数 排 成 一个。 ” 方阵 ， 若其各 行 、 各列 及各对角线 上元 素 之和均相等 ， 则 此方阵称为 阶幻 方 。 本文讨论从 ” 阶 自然方阵开 始 ， 通 过 极其简单的 变 换 ， 生成 阶 幻 方的 方法 。 自然方阵的性质 将 一 这 ” “ 个连续 自然数按 自然顺序排 成如图 所示 的 方阵 ， 叫 自然方阵 。 阶 自然 方阵的性质 ， 我们有如下 几个引理 引 理 阶 自然方 阵 ” “ 个 自然数之和为 “ “ 牌 ， 若 能变 换成 ” 阶 幻 方 ， 叫每 行每 一 一 一一 一 一 收 稿 机械工 程系 呈 · · DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．06．034
列及两条主对角线上各数之和均为S.=n(n 800 +1)/2,S,称为幻和。 日+2 引理2：n阶自然方阵中不同行不l同列的n 个数之和为S.=n(n2+1)/2。 中串e果象 证明：n阶自然方阵第i行第j列的数可表 (开-1)年+1 (a-1)m+2 a 2 示为(i-1),n+j(1≤，j≤n),则既不同行的 不同列的n个数之和为 图1自然方阵 Fig.1 Natural Square 三(i-1)n+月，j=nn(m-1)/2+n(m+1)12=n(n+1)2 推论：n阶自然方阵每条主对角线上各数之和都是S,。 引理3：阶自然方阵中关于方阵中心对称的任两个数之和为n+1(这两个数称为一个 配对)。 推论：奇阶自然方阵(n为奇数)最中间一行与最中间一列上各数之和均为S。 2变换及其性质定理 作阶自然方阵止中央画一条水平线和一条铅垂线，分别叫做中平线与中垂线。关于中 平线或小垂线对称的两数的互换叫对换，关于中平线的对换叫平换，关于中垂线的对换叫垂 换。 定理1：将偶阶自然方阵每一行（列）的一半数（即”/2个数）进行平换（或垂换）， 所得新阵的每-一行（列）的n个数之和均为S.。 i证明：和阶自然方阵中第行各数可表示为(：-1)n+j,这里j取遍1到n的各数。关于中 平线对称的第(n-i+1)行中各数为(n-)·n+j。对称两数之差为(n-i)n+j一〔(：-1)n +j门=n(n-2i+1),因而第i行对换n/2个数，新的n个数之和为： n(i-1)n+n(n-2i+1).n12=S. 与之对称的第(n-i+1)行各数和为：n(n-i)n+2j-n(n-2+1)n2=S. 对于列的情况仿此证明。 将”阶自然方阵绕中心旋转45°，称作一次半旋。阶自然方阵半旋所得新的数阵称为 斜阵（方格仍由水平线与铅垂线围成）。如图2所示。 定理2：n阶自然方阵半旋后的斜阵有(2n-1)行，(2n-1)列，第i行（列）（1i<n) 与第(n+)行（列）共有n个数，它们在原方阵中位于不同行不同列。 显然，斜阵第(1≤i<n)行有i个数：(i-1)n+1,(i-1)n+2,…,(i-)n+k,…,i, 而第(i+r)行有(n-i)个数：(n-i-1)n+(n-),(n-i-2)n+(n-i+1),…,in+n。 可以看出这两行的n个数可表示成an+b(0≤a<n,1≤b≤n)的形式，各个不同的数的a与b 互不相同。因而他们在原方阵中处于不同行不同列的位置。 对列亦然。 ·592·
厅 … … 。 一 ， 布 一 ， 图 自然 方阵 列及两 条主对 角线 上各数 之和 均 为 一 州 。 匕 ， 称为 幻和 。 引理 阶 自然 方阵 中不 同行不 同列的 ， 个数 之和 为 。 。 证 明 ” 阶 自然 方阵第 ‘行第 列的数 可 表 示 为 ‘ 一 · 十 泛 ， 簇 ” ， 则既不 同行的 不 同列 的 个数 之和 为 一 乙 一 ” 陀 “ 推论 。 阶 自然 方 阵每 条主对 角线上各数 之和都 是又 。 ‘ 引理 ” 阶 自然 方阵 中关 于 方阵中心对称的任两 个数 之和 为 这 两个数称 为一 个 配对 。 推 论 一 奇阶 自然 方 阵 为奇数 最 中间一行与 最中间一 列上各数 之 和均 为 ， 。 变换及 其性质定理 在 ” 阶 自然方阵正 中央 画 一条水 平线 和 一 条铅垂线 ， 分别叫做 中平线 与 中 垂 线 。 关 于 ， ， ，卜线 或 ， 】 ， 垂线对称 的两数 的互换 叫对 换 ， 关于 中平线 的对 换 叫平换 ， 关于 中垂线 的对换 叫 垂 换 。 定 理 将偶 阶 白然 方阵每一 行 列 的 一半数 即 ” 个数 进 行平换 或 垂换 ， 所 得 新阵 的 帐 一行 列 的 个数 之 和均为 。 。 证明 川介 自然 方 阵 中第 行各数 可表示为 一 ” ， 这 里 取 遍 到 。 的各数 。 关于 中 平线 对 称的 第 一 行 中各数 为 ” 一 · 。 对称两数 之 差 为 一 ，‘ 一 〔 一 ” 十 门 “ ” 一 一卜 ， 因而 第 ‘ 行对 换 个数 ， 新 的 。 个数 之和为 ， 一 。 十 ” 一 二 。 一 与 之 对 称的第 。 一 十 行各数 和 为 ， 一 · 一卜 乙 一 ” 扭 一 十 ” ‘ 。 一 对 于列的情况仿此 证 明 。 将 ” 阶 自然方阵绕 中心 旋转 。 ， 称作 一次半旋 。 “ 阶 自然 方 阵半 旋后 所得新 的 数 阵称 为 斜阵 方 格仍 由水 平线 与 铅 垂线 围 成 。 如图 所示 。 定理 阶 自然 方阵半旋后 的斜阵有 ” 一 行 ， ” 一 列 ， 第 行 夕 与第 。 十 行 列 共有 个数 ， 它们在原方阵 中位于不 同行不 同列 。 显然 ， 斜阵第 百 。 行有 个数 一 ， 一 ， … ， 一 ’‘ 一 卜 寿 ， … ， 而 第 行有 一 个数 一 一 一 ‘ ， 一 一 ” 一 ， … ， 。 可 以看出 这两 行的 个数 可表示 成” 十 簇 。 ， 镇 泛 。 的形式 ， 各个不 同的数 的 “ 与 互不 相同 。 因而他 们 在原方阵 中处 于不 同行不 同列 的位置 。 对列亦然 。 ·
1 n12 2n+1 2+2 3 3n+1 2142 t43 4 （n-1jn+1(n-2n42 2n2 ni(n1y]'n (-1)n+2 1 2n (n-1971+3 3n 图2斜阵 Fig.2 Inclined squarc 3幻方生成法 (1)奇阶幻方将奇阶自然方阵进行一次半旋，斜阵第行（列）(1≤i<n)列的个数 与第(i+n)行（列）之间的个空格刚好一一对应、倒数第行（列）(1≤i<”)与倒数(i+) 14 5 13 21 4 291237204528 8 311361944 273 35 2 10421843 26 42 1 9 4117 49251 33 9 41 49 16 48247 32 40 48 15 423631i4 3915 47 226303382i46 29 37 45 36 44 43 图37阶幻方 Fig.3 The magic square of order 7 ·593◆
、 、 一 一 一 刀 一 十 一 拄 。 之 、 ’ … 一 杜 ’ …两 一 厂儿一 ’ ……’门又 … ’、 一 图 斜阵 幻方生成法 、 、 、 奇阶 幻方 将奇阶 自然方阵进 行一次半旋 ， 斜阵第 行 列 镇 列的 个数 与 第 行 列 之 间的 个空 格刚好一一对应 、 倒 数第‘行 列 簇 。 与倒数 ” ，、 丝 竺 些 丝 些 些 万 万 灭 万 而 云 图 、 阶幻 方
行也有类似的关系。于是让斜阵中前(n-1)/2行中各数向下平移n行，将倒数前(n一1)/2行 中各数向上平移n行，对于列同样处理，即得一个满实的n阶方阵，由定理2和引理2，可知 这新的方阵即为n阶幻方。如图3。 (2)双偶阶(n=4,k∈N)幻方将n=4k阶自然方阵最中间的2k行各数进行垂换，然 后将最中间的2k列中各数进行平换，由定理1可知，这样对换后得一n阶幻方，如图4。 (3)单偶阶(n=4k+2,k∈N)幻方生成步骤： a。撇开最外框的两行两列，将余下的4阶增广方阵（定义见第4部分）按4阶幻方生 成法进行变换（图5-a)。 1 234 6 67 125960616278 9 10 11 12 13 14 15 16 010 51 52 53541516 24 2322 21 20 19 18 公 2423464 44431817 32 31 3029 28 27 26 25 323138 3736352625 40 39 36 35 34 33 403930 2928273433 97 46 45 g 43 42 484722 2120:194241 9 50 51 52 53 54 55 56 4950 11 12 13 1455 56 57 58 59 60 61 62 63 64 5758 5 66364 2垂换 b平换成型 图48阶幻方 Fig.4 The magic square of order 8 b。包括四角在内，连同最外框每行每列中间的(2k一1)个数分别进行平换和垂换（图 5-b)。 ℃。将最外框任一行任一列的紧靠两头（不包括四角）的2k个数进行垂换和平换（图 5-c)。 d,将次外层任一行任一列的中间2k个数进行垂换与平换（图5-d)。 通过步骤a生成的增广4阶幻方，幻和为(n2+1)(n-2)/2,比n=4k+2阶幻方的幻和 12345678910 0l239495967899u 111213848586871819120 11 20 21 2223747576772828 30 21 30 3938 67 66 65643332 40 31 40 4948 575655544342 50 % 41 59 58 47 46 4544 153 60 60 51 61 69 68 37 36 3534 63 63 70 70 61 7273 24 25 6 27 78 79 之 80 81 8283 16 17 88 89 90 81 90 919293|949596979899 100 10929345897989911 图5一 图五-b ·594·
护声 行也有类似 的 关 系 。 于是让斜阵 中前 一 行 中各数 向下 平移 行 ， 将倒数前 一 行 巾各数 向上 平移时于 ， 对于列 同样处理 ， 即得 一 个满实 的 ” 阶方阵 ， 由定理 和引理 ， 可知 这新的方阵即 为 阶 幻 方 。 如图 。 双偶 阶 。 二 ， 介任 幻 方 将 ” 介阶 自然 方阵最 中间的 为行各 数 进行 垂 换 ， 然 后 将 最 中间的 列 中各数进行平换 ， 由定理 可知 ， 这样对换 后得 一 ” 阶 幻 方 ， 如 图 。 单偶 阶 ， ， 〔 幻 方 生成步骤 撇开 最外框的 两行两 列 ， 将余下 的 阶 增 广方阵 定义 见 第 部 分 按 龙阶 幻 方生 成法 进行变换 图 一 。 一︸滩玉 一比妈︷日币一讨︸ · 一且， 一曰， ︸一且，，‘‘仁一引︻仁与以卜︷︸ 一引 一︸吸刁一八，‘口︷几， ，一甘，工曰， 一公 ‘门只二一任幼八匕， 到软酬 ︸， 一‘恤咋叮叹组刀曰巴一一卜比︸以只卜﹄砚一︸一，‘﹃﹃一，目月甘才 一︸山性曰月任勺二，一，︸ 一，‘甘， 丝 丝 一 ‘ 。 垂 换 平换 成型 图 。 阶 幻 方 包括四 角在 内 ， 连 同最 外框每行每列 中间的 儿一 个数分别进行 平换和 垂 换 图 一 。 将 最 外框 任 一行 任 一列的 紧靠两头 不 包括四 角 的 寿个数进行 垂换和 平 换 图 一 。 将次 外层任 一行 任 一列的 中间 个数 进行 垂 换与平换 图 一 。 通 过步骤 生 成的增 广 掩阶幻 方 ， 幻 和 为 ’ ， 一 ， 比 二 舟 阶幻 方 的 幻 和 尹尸 一巨冲’回一 一 一引 一巨一 一 一匕︸卜︷ 睡一一一一 ︸一一 一川 ︸ 一叫 一 一一川叫 “ ， 丝 尸 塑竖回 引卫 ， …” 了 ” 。 图 弓 一 图 弓 一
1009894959673291 1009894{959673291 81 20 811213 878685 84181920 71 30 71 2223 747576 29 30 31 40 31 393867 6665 33 6240 50 41 5049 4857 56 555443 5241 60 父 6059 58 534251 70 61 70 69 68 37 36 35 3463 3261 21 80 21 7273 24125 262778 7980 11 90 11 82 83 14 15 16 17888990 10 9293456979899 1092 934 5 6 9798991 用5-c 图5一d成型 图510阶幻方 Fig.5 The magic square of order 10 S还相差一个(n2+1),即一个配对。 经过步骤b,最外框每行每列共对换了n2个数，由定理1，最外框每行每列各数之和均 为S。 步骤c的垂换与平换使部分配对数配对，因而在整个方阵中这2k行与2列的行列和为 S.o 步骤d保证了次外框中间2k行与2k列的配对数换到了同行同列，因而其行列和亦为S。。 以上各步均没有改变原方阵中对角线上各数的组合（只是位置重排），因而排法正确。 其实，步骤的对换并不限于次外层，只要是除最外层外不影响对角线的对换都是可行 的。这样，单偶阶(n=4k+2)幻方按此法可构造出(2k)2·4·(2k)2=(n-2)·/4和。如附 图18阶幻方共有13884种排法。 4增广幻方 由如下n2个数排成的方阵称为增广n阶方阵。 a+p a+2p 专中想票手 a+(n-1)p a+q a+p+q a+2p+9 电华华 a+(n-1)p+9 a+2q a+p+2q a+2p+29 年原年0 a+(n-1)p+2g 年4年e000 a+(n-1)ga+p+(n-1)9a+2p+(n-1)g… c+(n-1)p+(n-1)g 这个方阵的第一个数为a,行公差为q,列公差为p,无妨将其记作n阶a方阵。 n阶a:方阵如能通过变换，使其每行每列及每条主对角线上各数之和均相等，则变换后 的方阵称为增广n阶幻方。 n阶a方阵与n阶自然方阵具有完全类似的性质，如：n个数之和为an2+(p+q)(n-1) n2/2,如能变换为增广n阶幻方，幻和S。=an+(p+q)n(n-1)/2方阵中既不同行又不同列 ·595·
， 。 丝 肚 卫 丝 明 。 ， … 了 。 … 。 … 。 ” ‘ 图 一 与 图 弓 一 成型 图 。 阶幻 方 ， 还相差一个 。 “ ， 即 一个配对 。 经过步骤 ， 最 外框每行每列共对换了川 个数 ， 由定理 ， 最 外框每行每列各数之和 均 为 二 。 步骤 。 的 垂 换与 平换使部分配对 数配对 ， 因而在整个 方阵 中这 行 与 无列 的行 列和 为 。 步骤 保证了次外框 中间 行与 列的配对数换到 了同行 同列 ， 因而其行列和亦为 ， 。 以上各步均没有改变原方阵 中对 角线上各数的组合 只是位置重 排 ， 因而排法 正确 。 其实 ， 步骤 的对换并不限 于次 外层 ， 只要是除最外层 外不影 响对角线 的对 换都 是可行 的 。 这样 ， 单偶阶 二 十 幻 方按此法 可构造 出 “ · ， 句 二 一 和 。 如 附 图 阶 幻方共有 种排法 。 增 广 幻 方 由如下 “ 个数排 成的方阵称 为增广 阶方阵 。 … … … … … … … … … 一 一 儿 一 … … 一 一 月 一 一 一 空 这个方 阵的第一个数为 ， 行公差为 ， 列公 差为 ， 无妨将其记 作 ” 阶 “ 言方 阵 。 阶 “ 言方阵如能通过变换 ， 使其每行 每 列及每 条主对 角线上各数 之和均 相 等 ， 则变换后 的方阵称为增广 阶幻 方 。 阶 “ 言方 阵与 阶 自然方 阵具有 完全类似的性质 ， 如 个数之和 为 一 、 。 牌 ， 如能变换为增广 阶幻 方 ， 幻和 。 二 “ ” 户 ” 一 方阵中既 不 同行 又 不 同列 ·
的n个数之和为S.等。 增广n阶幻方的生成法与n阶幻方生成法完全一致。 本文的生成法极易编成计算机程序，利用计算机可以十分方便地排出任意阶幻方。 致谢：本文在编写过程中得到坐福成老师的热情辅导，也得到过陈难先教授的指导，在此致以麦心的必谢。 参考文献 1 Albert L.Cardy Construction,Classification and Census of Magic Squares of Order Five,Second Edition Lincoln,Nebraik,1939. 2李忠祥。北京钢铁学院学报，1985，增刊：45 附图： 32417161514312313314315316317318135432307 289202122233013002992982972962952943233343536 2713839404127627727827928028128228350515253 54 25356 57 5859258259260261262263264265 686970 71 72 235 74 75 76 77210241242243244245246247 8687 8889 90 9110710610510422922822722622322422322295 9493218108 126125124123122211210209208207206205204113112111200109 144143 142 141 140193192191 190 189188 187 8 131 130129182127 162161 160 159 158 175 17 173 171 170 149 148147164145 180179 178 177 176 57 167 166165146 163 198197 196 194 139 138 135 13 132 185 184 183 128 181 216 215 214 213 212 121 120 119 118 117116 115 11 203 202 201110199 234 233 232 231 230 103102101100 99 98 97 96221220219 92217 73236 237 238 239 787980 81 8283 84 85248249250251 252 53 254255 256 257 60 616263 G1656667266267268 269 270 2722732742754243444546474849284285286287288 192902912922932425262728293031802303304305306 183083093103116789101112319320321322323 1 附图单偶阶幻方一一18阶幻方 Fig.additional magic square of order 18 第12卷卷钱 ·596·
的 ” 个数之和为 等 。 增广 阶幻 方的生 成法与 阶幻 方生 成法 完全 一致 。 本文 的生 成法极 易编 成计算机 程序 ， 利 用计算机可 以十分方便 地排 出任意阶幻 方 。 洲曰 致 谢 本文 在 编 写过 程中得 到启 福成老 师的 热 情 辅导 ， 也得 到 过陈 难先教 授 的指导 ， 在 此 致以 郭。 的感谢 。 今 考 文 献 。 ， 仁 ， ， ， 李忠祥 北京钢铁学 院学 报 ， ， 增刊 尸 户 附 田 ‘ ， 尸尸沪 附图 叭偶阶 幻 方一一 阶幻 方 口矛声 印 ， 第 二 终 产