o(x,y,=)=0下的极值就为条件极值 2.原则上说,从条件o(x,y,z)=0中解出z=x(x,y),代入函数u=f(x,y,z)中,即化 成u=f(x,y,x(x,y)的普通极值问题,但是这种方法有时行不通,即使能从(x,y,z)=0中 解出〓,也往往比较繁,我们常用拉格朗日乘子法。 3.拉格朗日乘子法 ①如求函数u=f(x,y,)在条件q(x,y,=)=0下的极值: 构造拉格朗函数 (x, y,=)=f(x,,=+Ao(x,y,=) aL 则条件极值即化为求L(x,y,2)的普通极值问题,由{a qp(x,y,=)=0 解出x,y,x,λ,其中(x,y,z)就是可能的极值点的坐标。 ②对可能的极值点M(x,y,2)进一步判断其是否为极值 (i)可以通过讨论二阶全微分d2L的符号来进行判断,若d2L>0则该点为极小值点, 若d2L<0则该点为极大值点。在讨论d2L的符号时要注意,dx如d满足条件 dx+-d AB C (ⅱi)可以通过矩阵BDE的正、负定来进行判断,其中A= a2 B ax 若该矩阵正定,则该点为极小值点 若该矩阵负定,则该点为极大值点,但该矩阵不定时,不能说明该点不是极值点,需进一步 判断,这是因为此时没有利用条件o(x,y,)=0 4.典型例题 例:求函数∫=x-2y+2在条件x2+y2+z2=1下的极值 解:构造函数L(x,y,z)=x-2y+2z+1(x2+y2+二2-1) 则Lx=1+2x,L,=-2+2y,L=2=2+2 x -2+24y=0 解得 或 2+2=0 即函数可能在点( )和 )取得极值 (i)通过d2L的符号判断上面的点是否为极值点(x, y,z) = 0 下的极值就为条件极值． 2．原则上说，从条件 (x, y,z) = 0 中解出 z = z(x, y) ，代入函数 u = f (x, y,z) 中，即化 成 u = f (x, y,z(x, y)) 的普通极值问题，但是这种方法有时行不通，即使能从 (x, y,z) = 0 中 解出 z，也往往比较繁，我们常用拉格朗日乘子法。 3．拉格朗日乘子法： ① 如求函数 u = f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0 下的极值： 构造拉格朗函数 L(x, y, z) = f (x, y, z) + (x, y, z) 则条件极值即化为求 L(x, y, z) 的普通极值问题，由           = =   =   =   ( , , ) 0 0 0 0 x y z z L y L x L  解出 x, y, z,  ，其中 (x, y, z) 就是可能的极值点的坐标。 ② 对可能的极值点 M(x, y, z) 进一步判断其是否为极值。 （i）可以通过讨论二阶全微分 d L 2 的符号来进行判断，若 0 2 d L  则该点为极小值点， 若 0 2 d L  则该 点为极 大值 点。在 讨论 d L 2 的符号 时要 注意， dx, dy, dz 满足 条件 = 0   +   +   dz z dy y dx x    。 （ii）可以通过矩阵           C E F B D E A B C 的正、负定来进行判断，其中 M x L A 2 2   = ， M x y L B    = 2 ， M x z L C    = 2 ， M y L D 2 2   = ， M y z L E    = 2 ， M z L F 2 2   = 。若该矩阵正定，则该点为极小值点； 若该矩阵负定，则该点为极大值点，但该矩阵不定时，不能说明该点不是极值点，需进一步 判断，这是因为此时没有利用条件 (x, y, z) = 0 。 4．典型例题 例：求函数 f = x − 2y + 2z 在条件 1 2 2 2 x + y + z = 下的极值。 解：构造函数 ( , , ) 2 2 ( 1) 2 2 2 L x y z = x − y + z +  x + y + z − 则 L x L y L z x =1+ 2 , y = −2 + 2 , z = 2 + 2 由        + + = + = − + = + = 1 2 2 0 2 2 0 1 2 0 2 2 2 x y z z y x    解得            = = − = = − 2 3 3 2 3 2 3 1  z y x 或            = − = = − = 2 3 3 2 3 2 3 1  z y x 即函数可能在点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）和（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ）取得极值。 （i）通过 d L 2 的符号判断上面的点是否为极值点