dL=dx-2dy+2d=+ 2/xdx+ 2nydy+2/d d2L=2a(dx2+ dy2+d=2) 对于点(-12-2),=3 d2L=3(x2+d2+2)>0故在点(-1,2,-2)有极小值,极小值为-3 对于占(122)2=3 d2L=-3d2+db2+d2)<0故f在点(1-2.2 333)有极大值,极大值为3。 (i)通过矩阵BDE的正、负定来判断上面的点是否为极值点。 Lx=2,Lx=0,L=0Lm=2,L=0,L==2A 对于点(-122 33·3,2=3 ABC||200 ∴4=(24)=3>0, 9>0,BDE|=020=27>0 B D03 E FI0 022 故矩阵BDE正定,点( 22 为函数的极小值点,极小值为-3。 CE F 对于点( 4=(2)=-3<0 BDE|=0-30=-27<0 CE FIO 0-3 故矩阵|BDE负定,∴点(3,-21,23)为函数的极大值点,极大值为3 例:求函数∫=x在条件x+y=1下的极值 解:构造函数L(x,y)=xy+(x+y-1) 则Lx=y+,L,=x+2 +A=0 由{x+=0 解得 2 即函数可能在点(,)取得极值 (i)通过d2L的符号判断点(,)是否为极值点dL = dx − 2dy + 2dz + 2xdx + 2ydy + 2zdz 2 ( ) 2 2 2 2 d L =  dx + dy + dz 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）， 2 3  = ∴ 3( ) 0 2 2 2 2 d L = dx + dy + dz  故 f 在点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）有极小值，极小值为–3。 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ） 2 3  = − ∴ 3( ) 0 2 2 2 2 d L = − dx + dy + dz  故 f 在点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ）有极大值，极大值为 3。 （ii）通过矩阵           C E F B D E A B C 的正、负定来判断上面的点是否为极值点。 Lxx = 2 ， Lxy = 0， Lyz = 0 Lyy = 2 ， Lyz = 0 ， Lzz = 2 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）， 2 3  = ∴ A = (2) = 3  0， 9 0 0 3 3 0 = =  B D A B ， 27 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 = =     C E F B D E A B C ， 故矩阵           C E F B D E A B C 正定，∴点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − − ）为函数的极小值点，极小值为–3。 对于点（ 3 2 , 3 2 , 3 1 − ）， 2 3  = − ∴ A = (2) = −3  0 ， 9 0 0 3 3 0 =  − − = B D A B ， 27 0 0 0 3 0 3 0 3 0 0 = −  − − − = C E F B D E A B C ， 故矩阵           C E F B D E A B C 负定，∴点（ 1 3, − 2 3, 2 3 ）为函数的极大值点，极大值为 3。 例：求函数 f = xy 在条件 x + y =1 下的极值 解：构造函数 L(x, y) = xy + (x + y −1) 则 Lx = y +  ， Ly = x +  由      + = + = + = 1 0 0 x y x y   解得          = − = = 2 1 2 1 2 1  y x 即函数可能在点 ) 2 1 , 2 1 ( 取得极值。 （i）通过 d L 2 的符号判断点 ) 2 1 , 2 1 ( 是否为极值点