b)当=0时,取球心为原点,半径为n的球形邻域△v,则 lim 4丌△v-0△1 lim ∫ sin ede(r2·e) 1 lim 4丌 若考虑球形邻域△v内的积分 dn S (3.55) 因此我们定义: r 6(7)≡V· (3.56) 称之为 Dirac delta函数。满足: 6(7) 0r≠0 (3.57) 6(7d (3.58) 类似我们可以求出柱坐标系下的算符的Eq(3.48.349,350) 4势定理 4.1标量势存在定理 对于无旋场F(Curl- less or irrotational fields),下面说法等价 (a)场的旋度处处为零,即V×F=0; (b)/Fd的值与积分路径无关; ()对任意闭合路径FdC=0 (d)F可以表示为某标量函数的梯度,即F=-Vv,其中Ⅴ称为标(量)势。 注意:标量势不唯一,可以差一常数, 在物理上,比如说漩涡、电场。 4.2矢量势存在定理 对于无散场F( Divergence-less or solenoidal fields),下面说法等价: (a)场的散度处处为零,即vF=0 (b)给定积分表面的边界线,面积分值∫ F. ndo与积分表面8无关 (c)对任意闭合曲面∮F·ido=0 d)F可以表示为某矢量函数的旋度,即F=V×A,其中A称为矢(量)势。 注意:矢量势不唯一,可以差一标量函数的梯度ⅴV。 在物理上,比如说水杯中旋转的水、磁场。 7b)当~r = 0时，取球心为原点，半径为η的球形邻域∆V，则 ∇ · ~v ≡ 1 4π lim ∆V−→O H ∆S ~n · ~vdσ ∆V (3.53) = 1 4π lim η−→0+ R 2π 0 dϕ R π 0 sin θdθ(r 2 ~r r 3 · eˆr) 4 3 πη3 = 1 4π lim η−→0+ 3 η 3 = +∞ (3.54) 若考虑球形邻域∆V内的积分： Z ∆V ∇ · ~vdτ = I ∆S ~v · ~ndσ = I ∆S 1 4π ~r r 3 · eˆrdΩ = 1 (3.55) 因此我们定义： δ(~r) ≡ ∇ · ~v = 1 4π ∇ · ~r r 3 (3.56) 称之为Dirac Delta函数。满足： δ(~r) = ½ 0 ~r 6= 0 +∞ ~r = 0 (3.57) Z δ(~r)dτ = 1 (3.58) 类似我们可以求出柱坐标系下的∇算符的Eq.(3.48,3.49,3.50)。 4 势定理 4.1 标量势存在定理 对于无旋场F~ (Curl-less or irrotational fields)，下面说法等价： (a) 场的旋度处处为零，即∇ × F~ = 0； (b) R b aP F~ · d~`的值与积分路径P无关； (c) 对任意闭合路径 H b aP F~ · d~` = 0; (d) F~可以表示为某标量函数的梯度，即F~ = −∇V ，其中V称为标（量）势。 注意：标量势不唯一，可以差一常数。 在物理上，比如说漩涡、电场。 4.2 矢量势存在定理 对于无散场F~ (Divergence-less or solenoidal fields)，下面说法等价： (a) 场的散度处处为零，即∇ · F~ = 0； (b) 给定积分表面S的边界线，面积分值 R S F~ · nˆdσ与积分表面S无关； (c) 对任意闭合曲面 H F~ · nˆdσ = 0; (d) F~可以表示为某矢量函数的旋度，即F~ = ∇ × A~，其中A~称为矢（量）势。 注意：矢量势不唯一，可以差一标量函数的梯度∇V 。 在物理上，比如说水杯中旋转的水、磁场。 7