旋度 ×(Am g1e1y9e29363 1品品 919293 A1g2A2934 Eq(3.41.342)的证明留给大家。 提示:需要用到Eq(335,3.36,3.37)。) 3.5积分 曲线积分 高斯定理 (V·ndr=∮.dd 344) 斯托克斯定理: (V×司·dd=p可 (3.45) 36举例:球坐标系 坐标变换: r sin 8 cos o y r sin A sin g (3.46) 易求得: 1 92 将Eq(347)代入Eq1(3.29,341,3.42)可得: aT 1 aT VT V·A sin e a(reAr), a(sin 0.A0) aAp (3.49) A 1 a(Ao sin 8) aAo. lr 1 dAr a(rAo) r sin e 06 I ra(rAe) aA, 350) 下面我们来计算矿=的散度 当7≠0 V· [V)·+(V·7 (3.51)旋度： ∇ × A~ = ∇ × (Ameˆm) = 1 g1g2g3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ g1eˆ1 g2eˆ2 g3eˆ3 ∂ ∂µ1 ∂ ∂µ2 ∂ ∂µ3 g1A1 g2A2 g3A3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (3.42) Eq.(3.41,3.42)的证明留给大家。 (提示：需要用到Eq.(3.35,3.36,3.37)。) 3.5 积分 曲线积分： Z b aP (∇T) · d~` = T(b) − T(a) (3.43) 高斯定理： Z V (∇ · ~v)dτ = I S ~v · d~a (3.44) 斯托克斯定理： Z S (∇ × ~v) · d~a = I P ~v · d~` (3.45) 3.6 举例：球坐标系 坐标变换：    x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (3.46) 易求得：    g1 = 1 g2 = r g3 = r sin θ (3.47) 将Eq.(3.47)代入Eq.(3.29,3.41,3.42)可得： ∇T = ∂T ∂r eˆr + 1 r ∂T ∂θ eˆθ + 1 r sin θ ∂T ∂φ eˆφ (3.48) ∇ · A~ = 1 r 2 sin θ h sin θ ∂(r 2Ar) ∂r + r ∂(sin θAθ) ∂θ + r ∂Aφ ∂φ i (3.49) ∇ × A~ = 1 r sin θ h ∂(Aφ sin θ) ∂θ − ∂Aθ ∂φ i eˆr + 1 r h 1 sin θ ∂Ar ∂φ − ∂(rAφ) ∂r i eˆθ + 1 r h ∂(rAθ) ∂r − ∂Ar ∂θ i eˆφ (3.50) 下面我们来计算~v = 1 4π ~r r 3的散度： a)当~r 6= 0时， ∇ · ~v = 1 4π [(∇ 1 r 3 ) · ~r + 1 r 3 (∇ · ~r)] (3.51) = 1 4π (− 3 r 3 + 3 r 3 ) = 0 (3.52) 6