33梯度 根据我们已知的直角坐标下的运算可得 dT (328) 1 aT VT= ap (3.29) 910y (3.30) 虽然这里的推导V是对于标量T而言的,但是实际上Eq(3.30)确是恒成立的。 综合Eq1、3.9,3.10,3.29)可得到下面一些有用的公式: givA 2m9(山)x(Vp) 332) (V)×(H) gigi 细论ⅴ:原则上来说,有了Eq(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则,便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算,但是这个过程中会涉及到联络的概念,比较难以计算,所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 10 (334) 90p 很明显,V既是矢量又是线性算符,所以计算时可以分为两步: 1)忽略ⅴ的矢量特征,仅把其当做算符作用于函数或矢量,但要保持等式的运算顺序; 2)再考虑ⅴ是矢量,运用矢量公式进行计算,但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子 V(·B)=VA(A·B)+VB(A·B (335) B×(VA×A)+(B.VA)A+A×(VB×B)+(AVB)B(3.36) B×(V×A+(B.V)A+Ax(V×B+(·V)B (3.37) Eq(3.35)利用了的算符特征,Eq2(3.36)利用了V的矢量特性。 V×(V×A)=Vy×(V×A)+VA×(V×A) (338) V(VA·A)-(V.VA)A (3.39) V(V·4)-(·V)A A (3.40) Eq(3.38)利用了V的算符特征,Eq2(3.39)利用了V的矢量特性。 般我们用Eq(340)来定义矢量的 Laplacian 因为电动力学经常碰到这类运算,所以应该熟悉这种计算方法,作为练习,大家可以尝试推导 书后附录一中的公式 3.4散度和旋度 散度: 1O(9:4)+0(9142)+(99433.3 梯度 根据我们已知的直角坐标下的运算可得： dT = ∂T ∂µi dµi ≡ (∇T) · (d~`) (3.28) ⇒ ∇T = 1 gi ∂T ∂µi eˆi (3.29) ⇒ ∇ = ˆei 1 gi ∂ ∂µi (3.30) 虽然这里的推导∇是对于标量T而言的，但是实际上Eq.(3.30)确是恒成立的。 综合Eq.(3.9,3.10,3.29)可得到下面一些有用的公式： eˆj = gj∇µj (3.31) eˆm = 1 2 εijmgigj (∇µi) × (∇µj ) (3.32) (∇µi) × (∇µj ) = εijk gigj eˆk (3.33) 细论∇：原则上来说，有了Eq.(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则，便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算，但是这个过程中会涉及到联络的概念，比较难以计算，所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 ∇ = ˆei 1 gi ∂ ∂µi (3.34) 很明显，∇既是矢量又是线性算符，所以计算时可以分为两步： 1)忽略∇的矢量特征，仅把其当做算符作用于函数或矢量，但要保持等式的运算顺序； 2)再考虑∇是矢量，运用矢量公式进行计算，但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子： ∇(A~ · B~ ) = ∇A(A~ · B~ ) + ∇B(A~ · B~ ) (3.35) = B~ × (∇A × A~) + (B~ · ∇A)A~ + A~ × (∇B × B~ ) + (A~ · ∇B)B~ (3.36) = B~ × (∇ × A~) + (B~ · ∇)A~ + A~ × (∇ × B~ ) + (A~ · ∇)B~ (3.37) Eq.(3.35)利用了∇的算符特征，Eq.(3.36)利用了∇的矢量特性。 ∇ × (∇ × A~) = ∇∇ × (∇ × A~) + ∇A × (∇ × A~) (3.38) = ∇(∇A · A~) − (∇ · ∇A)A~ (3.39) = ∇(∇ · A~) − (∇ · ∇)A~ ≡ ∇(∇ · A~) − ∇2A~ (3.40) Eq.(3.38)利用了∇的算符特征，Eq.(3.39)利用了∇的矢量特性。 一般我们用Eq.(3.40)来定义矢量的Laplacian。 因为电动力学经常碰到这类运算，所以应该熟悉这种计算方法，作为练习，大家可以尝试推导 书后附录一中的公式。 3.4 散度和旋度 散度： ∇ · A~ = ∇ · (Ameˆm) = 1 g1g2g3 [ ∂(g2g3A1) ∂µ1 + ∂(g3g1A2) ∂µ2 + ∂(g1g2A3) ∂µ3 ] (3.41) 5