用Eq(3.13)不难证明 C)=B·(C×A)=C·(A×B) 4)三重矢积( vector triple product) A×(B×C X Eijk Bi Chek Am B c jEijk, Am Bi Ci (SinSim-Sim&in)en B, Cmei-AmBmCie (A·C)B-(A·B)C 315) 利用Eq1(3.15)不难证明: A×(B×C)+B×(C×A)+C×(A×B) 5)并积( dyadic product) T≡AB=A1Bfe1e 我们一般称AB为并矢(dyad),一共9个分量,其中6个独立。 两个或两个以上的并矢之和称为并矢式( dyadic),有9个独立分量,也称二阶张量 并矢相关运算 a)点乘 e 6;y (318) ei eek diemer (3.19) b)叉乘 (320) (321) 事实上,在张量代数中只要知道了基矢的运算公式就可以计算任何矢量的运算结果了。 作为练习,大家可以验证下面的公式 a(ba)=(a·bd a x (6)=(d×b) 24) (6×a=b(c×a c)双点积( double dot product) (ee3):(eke)≡(e;·ek)(e1·ep) (326) 那么 A: B=(Aie; e,): (Bkekee)=Aii B (327) 很明显,双点积的作用相当于矩阵相乘再求迹( trace)。用Eq.(3.13)不难证明： A~ · (B~ × C~ ) = B~ · (C~ × A~) = C~ · (A~ × B~ ) (3.14) 4)三重矢积(vector triple product): A~ × (B~ × C~ ) = Ameˆm × εijkBiCjeˆk = AmBiCjεijkεmkneˆn = AmBiCj (δinδjm − δimδjn)ˆen = AmBiCmeˆi − AmBmCjeˆj = (A~ · C~ )B~ − (A~ · B~ )C~ (3.15) 利用Eq.(3.15)不难证明： A~ × (B~ × C~ ) + B~ × (C~ × A~) + C~ × (A~ × B~ ) = 0 (3.16) 5)并积(dyadic product): ~ T~ ≡ A~B~ = AiBjeˆieˆj (3.17) 我们一般称A~B~为并矢(dyad)，一共9个分量，其中6个独立。 两个或两个以上的并矢之和称为并矢式(dyadic)，有9个独立分量，也称二阶张量。 并矢相关运算: a)点乘： eˆi · eˆjeˆk = δijeˆk (3.18) eˆmeˆi · eˆjeˆk = δijeˆmeˆk (3.19) b)叉乘： eˆi × eˆjeˆk = εijneˆneˆk (3.20) eˆmeˆi × eˆjeˆk = εij`eˆmeˆ`eˆk (3.21) 事实上，在张量代数中只要知道了基矢的运算公式就可以计算任何矢量的运算结果了。 作为练习，大家可以验证下面的公式： ~a · ( ~b~c) = (~a · ~b)~c (3.22) ( ~b~c) · ~a = ~b(~c · ~a) (3.23) ~a × ( ~b~c) = (~a ×~b)~c (3.24) ( ~b~c) × ~a = ~b(~c × ~a) (3.25) c)双点积(double dot product)： (ˆeieˆj ) : (ˆekeˆ`) ≡ (ˆej · eˆk)(ˆei · eˆ`) (3.26) 那么 ~A~ : ~B~ = (Aijeˆieˆj ) : (Bk`eˆkeˆ`) = AijBji (3.27) 很明显，双点积的作用相当于矩阵相乘再求迹(trace)。 4