3正交曲线坐标系 31基本概念 定义:三维空间R3,如果p∈R3,彐一组独立、连续、单值函数: u1=f1(x,y,z),w2=f2(x,y,2),3=f3(x,y,2) 并且其反函数 x=91(un,u2,u3),y=y2(u1,u2,u3),z=y3(un,u2,u3) (3 也独立连续单值,则称(u1,u2,u3)为p点的曲线坐标( Curvilinear coordinates),{(u1,u2,u3)}为 一般曲线坐标系 在曲线坐标系中,位置矢量为产u1,u2,t3),那么微分线元为 de s dr= andul a2du2 +asdus 如果,可1,a2,a3两两垂直,则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系( Orthogonal curvilinear Coordinates) 下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢: erdr+eydy+e2d (34) 0y1 0 092dμ1+ 0y2 dp2 d43) o2+33 0y3 (3.5) 091+e9ap +e23) giedi (36) 其中 度量因子99=(22+(02)2+(2 (3.7) 基矢=(eny1+c+e 1。ay1 (38 32基矢 (3.9) 3.10 有了基矢的运算公式,便可以考虑矢量A=A2e的运算: 1)点乘( dot product) A. B=Ai ei- e=A, Bi (3.11) 2)又乘 cross product) A×B=ABfe1×e;=EikA1Bfe 3.12 3)三重标积( scalar triple product) A.(B×C)=Amem·EikB2Cek=∈ imaM bi c 3.13)3 正交曲线坐标系 3.1 基本概念 定义：三维空间R 3，如果∀p ∈ R 3，∃一组独立、连续、单值函数： u1 = f1(x, y, z), u2 = f2(x, y, z), u3 = f3(x, y, z) (3.1) 并且其反函数 x = ϕ1(u1, u2, u3), y = ϕ2(u1, u2, u3), z = ϕ3(u1, u2, u3) (3.2) 也独立连续单值，则称(u1, u2, u3)为p点的曲线坐标(Curvilinear Coordinates)，{(u1, u2, u3)}为 一般曲线坐标系。 在曲线坐标系中，位置矢量为~r(u1, u2, u3)，那么微分线元为： d~` ≡ d~r = ~a1du1 + ~a2du2 + ~a3du3 (3.3) 如果∀~r，~a1,~a2,~a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正交曲线坐标系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。 下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢： d~` ≡ eˆxdx + ˆeydy + ˆezdz (3.4) = ˆex( ∂ϕ1 ∂µ1 dµ1 + ∂ϕ1 ∂µ2 dµ2 + ∂ϕ1 ∂µ3 dµ3) + ˆey( ∂ϕ2 ∂µ1 dµ1 + ∂ϕ2 ∂µ2 dµ2 + ∂ϕ2 ∂µ3 dµ3) + ˆez( ∂ϕ3 ∂µ1 dµ1 + ∂ϕ3 ∂µ2 dµ2 + ∂ϕ3 ∂µ3 dµ3) (3.5) = (ˆex ∂ϕ1 ∂µi + ˆey ∂ϕ2 ∂µi + ˆez ∂ϕ3 ∂µi )dµi ≡ gieˆidµi (3.6) 其中 度量因子gi gi = [(∂ϕ1 ∂µi ) 2 + (∂ϕ2 ∂µi ) 2 + (∂ϕ3 ∂µi ) 2 ] 1 2 (3.7) 基矢eˆi eˆi = 1 gi (ˆex ∂ϕ1 ∂µi + ˆey ∂ϕ2 ∂µi + ˆez ∂ϕ3 ∂µi ) (3.8) 3.2 基矢 eˆi · eˆj = δij (3.9) eˆi × eˆj = εijkeˆk (3.10) 有了基矢的运算公式，便可以考虑矢量A~ = Aieˆi的运算： 1)点乘(dot product): A~ · B~ = AiBjeˆi · eˆj = AiBi (3.11) 2)叉乘(cross product): A~ × B~ = AiBjeˆi × eˆj = εijkAiBjeˆk (3.12) 3)三重标积(scalar triple product)： A~ · (B~ × C~ ) = Ameˆm · εijkBiCjeˆk = εijmAmBiCj (3.13) 3