●标量C:不同惯性系变换下的不变量。 ·矢量A:由四个分量组成,且不同惯性系变换下按如下方式变换的量:A=amA ·二阶张量:由十六个分量组成,不同惯性系变换下按如下方式变换的量:T=aan1A6 ●类似可以知道n阶张量的定义。 注意:这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换,比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。 22从伽利略变换到洛伦兹变换 在19世纪末,很多人都认为经典力学是完美的,这是因为经典力学的基本方程 Lagrange's equa tion在伽利略变换下是协变的 我们首先来验证这一点。为了简单,我们考虑下面的变换 r+ut (22) 从Eq(22)可以得到 0 (23) 0 at x+就 (24) 进一步,可得 0x!0x at' at (25) 注意:Eq2(25)并不表示不同参考系下的速度相等,因为速度是位移对时间的全微分 又经典力学的时间观是绝对的,其数学表示为: dd dt′dt (2 综合Eq(23,2.5,2.6)可知: dta记axdt (27) q2(27)说明 Lagrange's Equation在变换Eq(22)下是协变的 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程: 02 9-0∈0 2 (28) 显然在伽利略变换下是不协变的,那么现在的问题就是如果承认伽利略变换,麦克斯韦方程组 就是错误的;如果承认麦克斯韦方程组,伽利略变换就是不正确的。 Einstein选择了后者,用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换,进而建立了狭义相对论。 也许你会问:四维时空除了上面两类变换,还有别的变换么? 幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构。• 标量C：不同惯性系变换下的不变量。 • 矢量A~：由四个分量组成，且不同惯性系变换下按如下方式变换的量：A0 µ = aµνAν • 二阶张量 ~ T~：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：T 0 µν = aµλaνδTλδ • 类似可以知道n阶张量的定义。 注意：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。 2.2 从伽利略变换到洛伦兹变换 在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力学的基本方程Lagrange’s Equa￾tion在伽利略变换下是协变的。 我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换： ½ x 0 = x + vt t 0 = t (2.2) 从Eq.(2.2)可以得到： ∂ ∂x0 = ∂ ∂x (2.3) ∂ ∂t0 = −v ∂ ∂x + ∂ ∂t (2.4) 进一步，可得： ∂x0 ∂t0 = ∂x ∂t (2.5) 注意：Eq.(2.5)并不表示不同参考系下的速度相等，因为速度是位移对时间的全微分。 又经典力学的时间观是绝对的，其数学表示为： d dt 0 = d dt (2.6) 综合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知： d dt 0 ( ∂L 0 ∂x˙ 0 ) − ∂L 0 ∂x0 = d dt ( ∂L ∂x˙ ) − ∂L ∂x = 0 (2.7) Eq.(2.7)说明Lagrange’s Equation在变换Eq.(2.2)下是协变的。 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程： ∇2ϕ − µ0²0 ∂ 2ϕ ∂t2 = − ρ ²0 (2.8) 显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组 就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。 也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？ 幸运的是数学上可以严格证明R 4只有两种微分结构。 2